Entrada de blog

Consideraciones metacognitivas sobre Problem Solving

Enviado por jmd el 15 de Septiembre de 2008 - 22:21.

Consideremos las siguientes proposiciones:

Proposición 1: En cualquier conjunto de $n+1$ números naturales siempre hay dos cuya diferencia es múltiplo de $n$.

Proposición 2: Cualquier número natural $n$ tiene un múltiplo $kn$ formado únicamente por ceros y unos (en su representación usual del sistema decimal).

¿Qué relación hay entre estas dos afirmaciones? Lo primero que se nota es que ambas contienen la frase "múltiplo de $n$"

Recordemos que la primera afirmación se demuestra por el principio de pichoneras: hay dos con el mismo residuo al dividir entre n, por lo tanto...

Entrada de blog

Desordenamientos

Enviado por jmd el 13 de Septiembre de 2008 - 16:00.

Desordenamientos (derangement)

Dentro de las aplicaciones del principio de inclusión-exclusión está el conteo de permutaciones con posiciones restringidas. Un caso especial de éstas son los desordenamientos, en los cuales se impone la restricción de que ningún elemento esté en su lugar original.

Recordemos que una permutación sobre $n$ elementos es una biyección $f:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\}$. Un desordenamiento en combinatoria es una permutación en la cual ningún elemento está en su lugar. Formalmente, un desordenamiento es una biyección $f$ de un conjunto finito $S$ en sí mismo sin puntos fijos (para toda $s$ de $S, f(s)$ es diferente de $s$).

Noticia

Entrenamiento el 19, en el CETis 109

Enviado por jmd el 13 de Septiembre de 2008 - 02:57.

El siguiente entrenamiento será en las instalaciones del CETis 109 los días 19, 20 y 21 de septiembre del año en curso. De la manera acostumbrada, el viernes 19 inicia a las 4pm y continua el sabado con el horario que acuerden con los entrenadores, etc. El entrenamiento estará a cargo de los jóvenes ex-olímpicos que el profesor Carlos Alcocer designe, y pues los temas sólo puedo sugerirlos: un tema básico que no se ha cubierto es el de combinatoria,...

Entrada de blog

Método del residuo chino para sistemas de congruencias

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2008 - 02:25.

Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.)
– Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Solución

El problema se deja modelar con el sistema de congruencias siguiente:

$n=2(mod3)$
$n=3(mod4)$
$n=0(mod5)$

Entrada de blog

El cocinero chino: un problema diofantino

Enviado por jmd el 9 de Septiembre de 2008 - 17:36.

El enunciado del siguiente problema es clásico. El problema se denomina "el cocinero chino". Se usa para ilustrar el teorema chino del residuo.

Noticia

Resultados examen selectivo final. Tamaulipas 2008

Enviado por jmd el 7 de Septiembre de 2008 - 19:50.

Estos son los resultados del examen selectivo final que se llevó a cabo ayer sábado 6 de septiembre de 2008 en las instalaciones de la UAMCEH UAT.

Entrada de blog

¿Combinatoria biyectiva? OK, pero ¿cómo descubres la biyección?

Enviado por jmd el 5 de Septiembre de 2008 - 02:47.

Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Solución biyectiva ("descubierta" con el método regula falsi)

Sin restricciones serían $C(n,r)$. Pero algunos de esos subconjuntos tienen consecutivos. Sea $B = \{b_1,b_2,...,b_r\}$ un subconjunto de $S$ de tamaño $r$. Por ejemplo, si fuese $B = \{1,2,...,r\}$, lo podríamos convertir a $ \{1,3,5,...\}$ --que no tiene consecutivos--, lo cual equivale a dejar el primero igual, sumarle 1 al segundo, 2 al tercero, etc.Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Entrada de blog

Beneficios y costos de la abstracción matemática

Enviado por jmd el 2 de Septiembre de 2008 - 15:52.

Se tienen 7 bolas blancas y 5 negras. ¿De cuántas formas se pueden colocar las 12 en hilera sin que haya dos negras juntas?

Solución

Coloco las 5 negras. Utilizo 4 blancas para separarlas. Me quedan 3 blancas. ¿Dónde las pongo? Es decir ¿cuántas formas hay de colocarlas en la hilera de las ya colocadas? Este problema es difícil a pesar de su aparente simplicidad. Una forma de responder a la pregunta es separar en casos: coloco las tres en lugares diferentes, coloco dos juntas en un lugar y la otra en otro lugar y, finalmente, las coloco las tres en un solo lugar.

Entrada de blog

Un ejercicio de prueba biyectiva en combinatoria

Enviado por jmd el 29 de Agosto de 2008 - 18:10.

Como se sabe, el número de elementos del producto cartesiano de dos conjuntos finitos es el producto de las cardinalidades de los conjuntos. Pero aquí vamos a exhibir una demostración de ese hecho aplicando una prueba biyectiva de $|A \times B| = |A| |B|$.

Para demostrarlo vamos a definir una función entre el producto cartesiano $A\times B$ y el conjunto de enteros $S = \{0, 1, ..., |A||B| - 1\}$.

Entrada de blog

Arco capaz: un problema de lugar geométrico

Enviado por jmd el 21 de Agosto de 2008 - 21:07.

En este post voy a definir el problema de lugar geométrico denominado arco capaz y a discutir el procedimiento de su construcción.

El problema y su procedimiento de construcción

En el problema de lugar geométrico denominado arco capaz, se da un segmento $AB$ y un ángulo $\lambda$. Se pide describir el lugar geométrico de los puntos en el plano, desde los que el segmento $AB$ se ve desde un ángulo $\lambda$.

Para quienes tienen prisa, el procedimiento de construcción es el siguiente:

Distribuir contenido