El año pasado, al iniciar los entrenamientos de la preselección Tamaulipas para la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, les presenté a los preseleccionados el "teorema" clásico de que todos los triángulos son isósceles (Ver mi postLapsus de razonamiento para una "demostración" ).
Después de presentar la figura a mano alzada en el pizarrón (de hecho, la figura es la fuente de toda la confusión) Luis Brandon pasó al frente y realizó la "demostración" (pues ya la conocía y sabía que estaba trucada).
El lapsus (literalmente, resbalón o desliz), también llamado acto fallido o parapraxis, es un error cometido por descuido (según el DRAE).
Lapsus afectivos y lapsus cognitivos
El tema lo aborda Freud en su libro Psicopatología de la Vida Cotidiana, en donde atribuye el lapsus a una relajación del control consciente de lo reprimido --el lapsus sería el afloramiento de lo reprimido en los momentos en que los controles de la atención y/o la voluntad se debilitan.
De mis tiempos de escuelante recuerdo dos construcciones geométricas: el triángulo equilátero y el hexágono. Nada más fácil que tomar el compás, abrirlo a la medida del lado y hacer arcos que marcan los vértices. La justificación del por qué funcionan no era algo que se preguntara por el profesor ni era de nuestro interés adolescente.
El estudiante medianamente responsable hace las tareas de acuerdo al procedimiento, interpretado éste de manera literal, y se olvida (mejor dicho, se va con los amigos). Tampoco se preguntaba uno para qué servía eso.
Este post, al igual que el anterior, se inscribe en la Reforma al Bachillerato (Bloque I, Matemáticas II). En él voy a elaborar (discutir) sobre los procesos de inferencia que pueden realizarse en configuraciones geométricas muy básicas, utilizando el concepto de ángulos congruentes. Y algunos resultados muy básicos, como el de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, las relaciones de complementariedad y suplementariedad de dos ángulos.
Parecería que de ángulos hay muy poco que decir. Son los objetos geométricos que se miden con un transportador ¿cierto? Cierto, pero hay toda una terminología escolar que el aprendiz debería aprender.
En lo que sigue voy a hablar primero de una clasificación de los ángulos, y en la segunda parte voy plantear la clasificación de las relaciones entre dos ángulos. En cada una de esas clasificaciones se presenta primero un mapa conceptual y después se hace el mismo planteamiento pero de manera discursiva.
En este post voy a comentar la solución del problema 4 de la IMO 2010 (posiblemente el único de los 6 de este concurso que solamente requiere conocimientos elementales).
Voy a elaborar en este post (en el sentido de decir más) sobre la diferencia entre interpretar las respuestas adolescentes ante una tarea de resolución de problemas -- en términos de sus posibles razonamientos y explicando sus errores según un esquema teórico-- y hacer lo mismo pero en una situación de enseñanza.
En particular, abundaré sobre la diferencia entre los dispositivos experimentales de Jean Piaget y las situaciones didácticas de Guy Brousseau. Usaré sendos ejemplos para que el lector pueda tener una comprensión inicial de la naturaleza de los dispositivos piagetianos, y las situaciones didácticas de Guy Brousseau.
En el paper Developing Katy's Algebraic Structure Sense, Hoch y Dreyfus, los autores de este reporte de investigación, someten a prueba empírica un método de enseñanza individualizada de las matemáticas que podríamos llamar "entrevistas didácticas" (teaching interviews).
Los autores usan las entrevistas didácticas para mejorar el desempeño en matemáticas de adolescentes que, si bien son buenos en la manipulación algebraica, no han adquirido el "sentido de la estructura". Eligieron para ilustrar los resultados a Katy, una adolescente de 16 años.
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001
pone en juego uno de los conocimientos más elementales de las matemáticas escolares: el significado de "múltiplo" y el algoritmo de la división. No se necesita más para resolverlo.
El método directo es emprender la división entre 1001. Pero son muchas cifras... tantas que no caben todas en la hoja de papel. ¿Entonces? Bueno, lo que está obligado a hacer el cognizador es a idear una estrategia alternativa.
Es conocido el hecho de que dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen igual área.
Un poco menos conocido es el hecho de que si tienen la misma altura, la razón de sus bases es igual a la razón de sus áreas. Elemental, pero hay que verlo funcionando:
