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Combinaciones lineales, mcd y coprimos.

Enviado por German Puga el 10 de Septiembre de 2016 - 02:08.

Una de las primeras propiedades que se presentan cuando aprendemos divisibilidad es la siguiente: 

Si $d$ es divisor de $a$ y $b$, entonces $ d | ax + by$ para cualesquiera enteros $x,y$.

A menos que se diga lo contrario, supondremos que estamos usando enteros mayores a cero. La propiedad citada lo que nos dice es que, si $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ entonces $d$ es divisor de cualquier combinación lineal de ellos. Hemos hablado de dos conceptos muy importantes de los que se profundizará más.

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Sobre el problema 1 de la 29 OMM

Enviado por jmd el 28 de Noviembre de 2015 - 15:00.

El problema

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

La solución

De acuerdo a los datos sobre la recta PQ que pasa por H, es fácil darse cuenta que PQ es bisectriz de los ángulos formados en H por las alturas.

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La dificultad de un problema depende del resolutor

Enviado por jmd el 25 de Septiembre de 2015 - 10:34.

En el presente post voy a presentar la solución de un problema de números que se me hizo realmente difícil y no lo pude resolver sin ayuda. Trato también de trasmitir a los lectores de MaTeTaM el modo de razonar de un experto en el problem solving de concurso. El problema es el siguiente:


Demostrar que, para todo entero no negativo k, $$2^{2^{6k+2}}+3$$ es múltiplo de 19.

Demostración (reconstruida a partir de una realizada por JRV en conversación telefónica con el que esto escribe)

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Sobre el ortocentro reflejado y el problema 3G

Enviado por jmd el 4 de Septiembre de 2015 - 11:23.

Creo que puede ser de alguna utilidad para los lectores de MaTeTaM la discusión de dos demostraciones del conocido teorema que dice:

El reflejo del ortocentro en el espejo de cualquier lado del triángulo pertenece al circuncírculo.

Una de ellas procede reflejando $H$ en un lado (digamos $BC$) y demuestra que ese reflejo (digamos $H'$) pertenece al circuncírculo; la otra toma el punto $H'$ de intersección de la altura (digamos $AH$) con el circuncírculo y demuestra que $H'$ es el reflejo de $H$ (en $BC$).

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Un problema viral

Enviado por jmd el 21 de Abril de 2015 - 11:14.

Es bastante inusual que un problema de matemáticas de concurso llegue a la prensa diaria. Por ello es que me sorprendió que haya aparecido en El Universal el siguiente problema de matemáticas (aunque más bien es de lógica) en estos días de abril de 2015. (La nota decía, además, que el problema es de una olimpiada de Singapur --creo-- para niños de 14 años y se había vuelto viral en la WWW.)

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Identidad notabilísima --y su determinante

Enviado por jmd el 1 de Febrero de 2015 - 22:12.

Me he encontrado en estos días con la notabilísima identidad algebraica (para a,b,c reales):
$$abc+(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Su rasgo distintivo radica --creo-- en que el lado derecho refleja el izquierdo pero intercambiando la suma por el producto y éste por aquélla. Es decir, lo que en el lado izquierdo es producto en el derecho es suma y la suma en el izquierdo es producto en el derecho.

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Seguir la regla y "ver como" en álgebra

Enviado por jmd el 7 de Enero de 2015 - 17:57.

Ahora que el 2014 se ha quedado atrás y el puente Guadalupe Reyes se terminó es buen momento para mirar hacia el futuro. Y desearle a toda la comunidad de usuarios de MaTeTaM un 2015 de eficaces aprendizajes en el problem solving de matemáticas.

Y, bueno, de paso voy a plantear la tesis de que, en el aprendizaje de las matemáticas, primero se aprende el procedimiento y sólo después de ello se aprende el concepto. Ilustro con un ejemplo de desigualdades.

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Desigualdad de Titu --una demostración booteable

Enviado por jmd el 23 de Noviembre de 2014 - 21:19.

Voy a presentar en este post una forma de demostrar la desigualdad de Titu Andreescu que recuerda los procesos de bootstraping utilizados en computación --y otras áreas de la ciencia. El término bootstrapping está inspirado --verosímilmente-- en Las Sorprendentes Aventuras del Baron de Munchausen. (Una serie de narraciones donde el héroe realiza tareas imposibles.) Atacho una traducción al español.

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Sobre el problema 3 del selectivo final

Enviado por jmd el 29 de Octubre de 2014 - 10:28.
Voy a presentar en este post la solución al problema 3 del selectivo final para la preselección Tamaulipas OMM 2014. Añado una solución alternativa con un algoritmo para resolver la ecuación de Pell. (De paso, con esta solución alternativa, puede verse el poder del procedimiento --sin entrar en detalles de por qué funciona.)
 

El problema y la solución de Germán

La solución de Germán procede mediante inferencias de divisibilidad. En ese sentido es una solución muy básica.
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Cuadrilátero cíclico: más instancias de uso

Enviado por jmd el 24 de Septiembre de 2014 - 19:36.

En este post  voy a recomendar el estudio de algunos materiales sobre cuadriláteros cíclicos a quienes se están preparando para el nacional. De paso intercalo dos instancias de su uso.

En un post anterior --dedicado a los criterios de reconocimiento  de los cuadriláteros cíclicos-- hemos destacado la importancia de esta herramienta en el problem solving de geometría y discutimos varias instancias de uso asociadas a demostraciones del teorema de la mariposa.

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