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Un problema para menores de 15

Enviado por jmd el 8 de Enero de 2009 - 07:19.

Para mostrar el nivel de dificultad de los problemas del Concurso de Primavera a continuación se presenta un ejemplo para menores de 15 (segundo nivel del concurso):

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La desigualdad de Cauchy

Enviado por jmd el 2 de Diciembre de 2008 - 03:54.

Voy a plantear aquí la idea de que el entrenamiento en solución de problemas de concurso debería estar enfocado al diseño e instalación, en la mente del aprendiz, de dispositivos cognitivos que faciliten el acceso de la estrategia adecuada para la solución de problemas específicos. 

Se trata de lograr que el aprendiz pueda instalar en su mente mecanismos de reconocimiento y asociación para que se le ocurra, dentro del tiempo disponible para un concurso, esas estrategias que después del concurso le pueden parecer tan sencillas que le resulta difícil imaginar por qué no se le ocurrieron ahí.

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Problema del taxi (y la educación matemática)

Enviado por jmd el 5 de Noviembre de 2008 - 16:31.

Nota: el problema del taxi fue usado por Tversky and Kahneman (reportado en 1980 en Causal schemas in judgments under uncertainty. Progress in social psychology (pp. 49-72), ed. M. Fishbein. Erlbaum.) para probar el sesgo humano de ignorar la tasa de base. La respuesta más frecuente de los sujetos a quienes se les presentó fue 80%, la confiabilidad del testigo. (La tasa de base puede definirse como la frecuencia relativa con la que un evento ocurre o un atributo está presente en una población –en el caso del problema del taxi sería el 15%, la proporción de taxis azules en la ciudad.)

El problema

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El abuelo y la niña

Enviado por jmd el 13 de Octubre de 2008 - 13:52.

 

El viernes 17 de octubre se realizará la II Olimpiada de Matemáticas de la Secundaria 4 en Cd. Victoria. A ese evento va dedicado este post.


La niña y su abuelo

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El problema 2 del concurso irracional

Enviado por jmd el 30 de Septiembre de 2008 - 13:38.

Consideremos el siguiente problema apoyados en la figura: demostrar la concurrencia de la línea media MN, la bisectriz de B, y la cuerda PQ (P, Q son los puntos de tangencia del incírculo con los lados AB y AC).

Solución

Con la cuerda y la bisectriz cruzando en T, trazamos MT. Vamos a demostrar que MT es línea media.

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Consideraciones metacognitivas sobre Problem Solving

Enviado por jmd el 15 de Septiembre de 2008 - 22:21.

Consideremos las siguientes proposiciones:

Proposición 1: En cualquier conjunto de $n+1$ números naturales siempre hay dos cuya diferencia es múltiplo de $n$.

Proposición 2: Cualquier número natural $n$ tiene un múltiplo $kn$ formado únicamente por ceros y unos (en su representación usual del sistema decimal).

¿Qué relación hay entre estas dos afirmaciones? Lo primero que se nota es que ambas contienen la frase "múltiplo de $n$"

Recordemos que la primera afirmación se demuestra por el principio de pichoneras: hay dos con el mismo residuo al dividir entre n, por lo tanto...

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Desordenamientos

Enviado por jmd el 13 de Septiembre de 2008 - 16:00.

Desordenamientos (derangement)

Dentro de las aplicaciones del principio de inclusión-exclusión está el conteo de permutaciones con posiciones restringidas. Un caso especial de éstas son los desordenamientos, en los cuales se impone la restricción de que ningún elemento esté en su lugar original.

Recordemos que una permutación sobre $n$ elementos es una biyección $f:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\}$. Un desordenamiento en combinatoria es una permutación en la cual ningún elemento está en su lugar. Formalmente, un desordenamiento es una biyección $f$ de un conjunto finito $S$ en sí mismo sin puntos fijos (para toda $s$ de $S, f(s)$ es diferente de $s$).

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Método del residuo chino para sistemas de congruencias

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2008 - 02:25.

Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.)
– Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Solución

El problema se deja modelar con el sistema de congruencias siguiente:

$n=2(mod3)$
$n=3(mod4)$
$n=0(mod5)$

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El cocinero chino: un problema diofantino

Enviado por jmd el 9 de Septiembre de 2008 - 17:36.

El enunciado del siguiente problema es clásico. El problema se denomina "el cocinero chino". Se usa para ilustrar el teorema chino del residuo.

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¿Combinatoria biyectiva? OK, pero ¿cómo descubres la biyección?

Enviado por jmd el 5 de Septiembre de 2008 - 02:47.

Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Solución biyectiva ("descubierta" con el método regula falsi)

Sin restricciones serían $C(n,r)$. Pero algunos de esos subconjuntos tienen consecutivos. Sea $B = \{b_1,b_2,...,b_r\}$ un subconjunto de $S$ de tamaño $r$. Por ejemplo, si fuese $B = \{1,2,...,r\}$, lo podríamos convertir a $ \{1,3,5,...\}$ --que no tiene consecutivos--, lo cual equivale a dejar el primero igual, sumarle 1 al segundo, 2 al tercero, etc.Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

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