Es un misterio para la ciencia cognitiva (y para todos, pero en especial para los teóricos de la educación matemática) cómo se aprende (y cómo se podría enseñar) el problem solving en matemáticas (y en otros campos).
¿Por qué dos cognizadores con las mismas herramientas y conocimientos, al resolver un problema, uno de ellos fracasa y el otro tiene éxito? La respuesta de que el que lo resuelve es el experto y el que fracasa todavía no llega a ese nivel de competencias, mantiene vigente la pregunta: ¿pero cómo le hace? Y se podría seguir respondiendo: bueno, pues por eso es el experto. Pero la pregunta básica permanecería no resuelta.
Voy a volver aquí al método de los dos lugares (two loci) que fue tratado en otro post, para dar contexto al problema de la construcción de un cuadrado, un problema viejo y sin solución en MaTeTaM --hasta antes de publicar este post. Empiezo con un ejemplo más o menos fácil para que el lector tenga posibilidades de apropiarse del método de los dos lugares. (El método de los dos lugares es en cierta forma el equivalente a resolver un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas: si "jalamos" las dos ecuaciones al contexto de las funciones y sus gráficas, la solución es la intersección.)
Ilustración del método de los dos lugares
Una recta m y un punto P fuera de ella son dados. Construir una circunferencia de radio r que pase por el punto y sea tangente a la recta.
Solución
El problema se reduce a encontrar el centro O de la circunferencia. Este centro debe estar a una distancia r de la recta (para lograr la tangencia) y a una distancia r de P (para que P esté sobre la circunferencia)
Pero a esta conclusión no se llega fácil (bueno, todo depende del nivel de experticia en el problem solving del cognizador). Notemos que primero hay que concluir que el problema se reduce a encontrar un punto (trazo meta). Para ello, primero hay que bosquejar la situación descrita en el enunciado (figura estímulo).
El bosquejo o figura permite darle sentido, darle un significado, a la pregunta. Pero también facilita el razonamiento. Para lograr el bosquejo inicial hay que suponer el problema resuelto (esto conduce a entender qué es lo que se está requiriendo). Y sólo entonces se puede identificar la meta (darse cuenta qeu el problema quedaría resuelto una vez que encontremos el centro O).
Identificar el trazo meta es una forma de traducir la pregunta del problema a un estado concreto de la construcción. Y una vez teniendo la meta, a partir de ella ya se puede generar la idea de trazar los dos lugares geométricos que ubican O en su intersección.
Para el caso de este problema, uno de los lugares son las paralelas a $m$ a una distancia $r$ de ella, y el otro es la circunferencia de centro P y radio $r$. Y como O está en ambos, se concluye que O está en la intersección de esos dos lugares geométricos.
De aquí se deduce el siguiente procedimiento de construcción: 1)trazar las paralelas a m a una distancioa r de ella; 2) trazar la circunferencia de radio r y centro P; 3) ubicar O en el punto de intersección de las paralelas y la circunferencia; 4) trazar el círculo requerido.
El problema (viejo y sin solución) de construir un cuadrado
Construir, con regla y compás, un cuadrado dados uno de sus vértices V y dos puntos A y B sobre los lados no adyacentes a V (o sobre sus prolongaciones).
Digresiones preliminares
Supongamos el problema resuelto. La figura estímulo es un cuadrado con uno de sus vértices en V y... ¿Cómo construyo el cuadrado si tengo uno de sus vértice? (Los puntos en los lados no adyacentes de nada me sirven para una construcción directa porque son móviles --sobre los lados-- o, mejor dicho, los lados son móviles sobre los puntos.)
Bueno creo que necesitaría el vértice opuesto. ¿Es eso factible de ubicar? ¿Donde está el vértice opuesto? Para ubicarlo necesito la longitud de la diagonal y uno de los lados adyacentes... no pues está cañón...
Como se sabe, la forma de abordar un problema de construcción geométrica como éste es mediante el patrón de dos lugares. Tengo que ubicar el vértice V' opuesto a V, en un lugar y después en otro lugar...
Qué tengo para continuar... tengo los dos puntos, uno en un lado no adyacente y el otro en el otro. Estos puntos están fijos así que... sí creo que ya está... hay que recordar aquí algo obvio: forman ángulo recto en el vértice V'... entonces ya tengo un lugar geométrico para V': V' está sobre la circunferencia de diámetro AB (V' es la intersección de los lados en que se encuentran A y B y estos lados forman ángulo recto --ver mi post sobre el arco capaz .
Estos y otros razonamientos hará el cognizador para lograr resolver el problema de construir un cuadrado dados uno de sus vértices y dos puntos en sus lados no adyacentes al vértice dado.
Enseguida se presenta un resumen de los resultados, pero antes puede ser de alguna utilidad comentar que los procedimientos de construcción más básicos están basados en el método de los dos lugares.
Por ejemplo, el de trazar un triángulo dados sus tres lados. Y estos procedimientos son de rutina y por el hecho mismo de haber sido convertidos en procedimientos de construcción, su fundamentación permanece oculta. Cual debe de ser, pues en los procedimientos de rutina no es pertinente hablar sobre su base teórica. (La teoría tiene que convertirse en técnica para que sea usable por todos los que así lo deseen. Solamente en los ratos de ocio alguien podría preguntarse ¿cómo funciona? o, mejor, ¿por qué funciona?)
Solución al problema del cuadrado
1. Como los lados no adyacentes a V forman ángulo recto en V' entonces V'está sobre la circunferencia C de diametro AB (primer lugar geométrico).
2. Como la recta VV' forma ángulo de 45 con los lados no adyacentes a V entonces, con alguno de ellos forma un ángulo inscrito en el círculo C (primer lugar geométrico encontrado). Ese ángulo inscrito tiene un arco interceptado que forma un ángulo central de 90 en C. Por tanto, el segundo lugar geométrico es la mediatriz del diámetro AB. Mejor dicho, este lugar geométrico me permite trazar la diagonal (vista como rayo) VV'.
3. Sea U el punto de intersección del círculo C y la mediatriz de AB. Entonces V' es la otra intersección de VU con el círculo C.
4. Una vez ubicado V' y la diagonal VV' los otros dos vértices se pueden ubicar de varios modos. Uno de ellos es trazar el círculo de diámetro VV' y después la mediatriz de VV' (y otra vez tenemos aquí el método de los dos lugares geométricos).
5. Nota: como la mediatriz de AB corta al círculo C en dos puntos, se van a obtener dos cuadrados que cumplen las condiciones requeridas.
Digresiones anecdóticas
Este problema me lo propuso Jesus Rodríguez Viorato durante una conversación de esas en las que tiene uno mucho tiempo, y puede uno dejar que la tarde transcurra sin ninguna otra preocupación que pasarla de la manera más agradable posible. Fue el año pasado en la casa de ustedes durante unas vacaciones. Yo lo tomé como un reto y salimos a resolverlo en el pizarrón de la cochera.
Sin embargo, a pesar de que se me ocurrió el método de los dos lugares y descubrí que V' tenía que estar sobre la circunferencia de diámetro AB, el otro lugar no lo pude descubrir a pesar de que le dediqué una media hora. Le dije: bueno estos dos lados no adyacentes forman recto en V' y... Pero me falta el otro lugar...
Después de un rato, Jesús aportó una sugerencia: "la diagonal VV' forma ángulo de 45 con los lados no adyacentes ¿se podría de ahí lograr el otro lugar?"
Pero la verdad no pude generar la idea clave, así que le dije (depués de media hora y asumiendo el papel de un alumno típico): "Bueno, pues ya dime cómo se hace, me rindo".
Y, bueno, puedo decir en mi favor que el otro lugar que resulta de la sugerencia (la mediatriz de AB) no ubica directamente V', sino que es un paso intermedio para ubicar V'. Y si los problemas de construcción asociados al método de los dos lugares son difíciles (como lo son), este problema es todavía más difícil, pues la solución requiere un paso adicional.
La anécdota asociada al problema que surgió durante aquélla conversación con Jesús tendría que ver con una expresión mía de asombro sobre la rapidez con la que él se va directo al meollo del problema (cualquier problema de matemáticas) y lo resuelve en tres patadas (creo que le dije:¡¿Cómo le haces?!).
Entonces Jesús recordó la siguiente anécdota (que ocurrió durante una tertulia de matemáticos en el DF): un estudiante de doctorado en educación matemática le había planteado el problema, durante la taquiza de esa tertulia de matemáticos (por ejemplo, al inicio, digamos, del segundo taco).
Jesús lo razonó (intercalándolo con la charla) durante tres tacos más (pudieron ser 4...) y después del último taco, cuando ya se había terminado el segundo vaso de horchata lo redactó y le entregó en una servilleta los tres o cuatro pasos de la construcción al estudiante de doctorado --los tacos y la horchata no me los platicó Jesús pero los puedo adivinar.
Y entonces el estudiante de doctorado leyó lo escrito en la servilleta y le dijo: "¿Cómo le haces? Yo lo he estado intentando resolver durante dos meses (podrían ser 3) y no se me ocurría cómo entrarle."
Los saluda
jmd
PD: El lector podría encontrar de utilidad mi post sobre el tránsito de novicio a experto.
PD2: No estaría de más que el lector consultara la Wikipedia sobre el modelo Dreyfus de la adquisición de habilidades.
PD3: Dreyfus distingue varios estadios en el tránsito de novicio a experto. Este tránsito pasa por principiante avanzado, competente, y proficiente. Mientras que el novicio se adhiere estrictamente a las reglas y carece de métodos de juicio propios, el principiante avanzado ya ha superado estas restricciones, pero tiene una habilidad de percepción muy limitada, no da prioridades ni puede desarrollar una visión sistémica de las situaciones. En fin, el camino es largo y sinuoso --pero nunca debe alejarse de la práctica...