Condición necesaria y suficiente

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Al consultar un glosario buscamos el significado de las palabras a través de su definición. Pero la definición es solamente la puerta de entrada del camino que conduce a ese significado. Por definición, la definición tiene que ser concisa. Debe expresar la esencia del concepto o cosa que se define. Pero el verdadero significado se establece en su relación con otros conceptos y, sobre todo, se establece en el uso.

 Los objetos matemáticos (y no matemáticos) tienen cualidades, atributos. En el lenguaje natural, las oraciones predican atributos de un objeto: "el rombo es un paralelogramo con sus cuatro lados iguales". (Como se sabe, la estructura básica de la oración es sujeto+predicado: "el rombo" es el sujeto, el resto de la oración es el predicado.) En la definición, el sujeto es lo que el predicado define, y el predicado es la definición del sujeto.

La definición clásica tiene dos partes o términos: el género y la diferencia específica. El género ubica al sujeto (la cosa a definir) en una clase de cosas que si bien comparten atributos, también presentan diferencias. La clase de los paralelogramos admite muchos tipos de figuras geométricas: el rectángulo, y el no rectángulo. Basta con que tengan sus dos pares de lados opuestos paralelos. Pero el rombo se distingue de otras clases de paralelogramos por tener sus cuatro lados iguales: ésta es su diferencia específica. Especifica una especie (el rombo) dentro del género de paralelogramos. La función lingüística de la diferencia específica es calificar (adjetivar) al género, restringiendo así su significado y delimitando una especie.

Es conveniente aclarar que una misma clase podría admitir dos definiciones: "el cuadrado es un rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales" o "el cuadrado es un rombo que tiene sus cuatro ángulos iguales". Pero, en ese caso, ambas definiciones deben ser equivalentes, es decir, de cualquiera de ellas debe poder deducirse la otra como una propiedad de la clase definida.

La cuestión de la condición necesaria y suficiente

La condición necesaria y suficiente (para que otra condición se cumpla o sea verdadera) es una relación entre dos proposiciones p y q. Por ejemplo, considerando la clase de figuras geométricas llamada paralelogramo, la condición  "diagonales iguales" es una condición necesaria y suficiente para que la figura geométrica sea un rectángulo (es decir, para que el paralelogramo tenga todos sus ángulos interiores iguales). "Paralelogramo que tiene sus dos diagonales iguales" es una definición alternativa de rectángulo, debido a que es equivalente a "paralelogramo que tiene todos sus ángulos iguales". Es decir, de cualquiera de ellas se puede deducir la otra. (Se deja como ejercicio para el lector el hacer las deducciones.)

Pero veamos otro ejemplo. Consideremos la proposición "Si un cuadrilátero es rectángulo entonces es paralelogramo". "Paralelogramo" es condición necesaria para ser un rectángulo, y ser un rectángulo es condición suficiente para ser un paralelogramo.

Otro ejemplo más. Si Pedro es tamaulipeco entonces Pedro es mexicano. Tenemos dos clases: mexicanos y tamaulipecos. Notemos que tamaulipeco es una clase incluida en la clase mexicano. Por esa razón, ser mexicano es condición necesaria para ser tamaulipeco (si no es mexicano no puede ser tamaulipeco). Al mismo tiempo, ser tamaulipeco es condición suficiente para ser mexicano (basta con ser tamaulipeco para ser mexicano).

Desde el punto de vista de la lógica de proposiciones, en la proposición compuesta "si p entonces q", p es condición suficiente para q, y q es condición necesaria para p. Y para que una de las proposiciones sea condición necesaria y suficiente para la otra, de cada una de ellas se debe poder deducir la otra, es decir, ambas proposiciones, p y q, son lógicamente equivalentes, Este hecho se expresa en la proposición "p si y sólo si q".

En la lógica aristotélica, la equivalencia de dos proposiciones se expresaba diciendo que cualquiera de ellas "es convertible" en la otra.  (Cohen, M. y Nagel, E., Introducción a la lógica y al método científico, vol 2, p. 55, Amorrortu, Buenos Aires 1979.) Desde la perspectiva moderna, "convertible" significaría "condición necesaria y suficiente" --el ejemplo de Aristóteles, nos dicen Cohen y Nagel, es desafortunado: "A es un hombre si y sólo si es capaz de aprender gramática". (Como se sabe, en la antigüedad se definía al hombre como animal racional.)

Los saluda
jmd

PD: Todas estas reflexiones se derivan de la dificultad que encontré al incorporar definiciones en el glosario de MaTeTaM. ¡Qué difícil es definir!