Construcción de un triángulo... ¡con gestión del entusiasmo!

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En este post voy a discutir la solución de un problema de construcción geométrica con regla y compás utilizando un enfoque al he llamado de entusiasmo --un poco para estar a la moda mass mediática de los libros de autoayuda y gestión del entusiasmo.

Para ilustrar el hecho de que el entusiasmo puede quedarse en el mero sueño si no es acompañado de una lógica sana, comparo mi método con los sueños de un desposeido en la canción americana "If I only had a match"

El problema y un primer intento de solución

Construir el triángulo $ABC$ dadas las longitudes $m_a$ de su mediana desde $A$, $d_a$ de la bisectriz del ángulo $A$, y $h_a$ de la altura del vértice $A$ (respecto a su lado opuesto $BC$)

Inicio de una solución

Claramente, la altura nos permite ubicar las posiciones relativas de $A$ y la recta que contiene $BC$: 1)elegimos la recta $BC$; 2) elegimos el pie $P$ de la altura; 3) levantamos la perpendicular a $BC$ por $P$; 4) usamos $h_a$ para ubicar $A$. En resumen: para empezar tenemos la recta $BC$ y el vértice $A$.

Aquí hay un primer momento crítico en el proceso de resolución: ¿cómo ubico los otros dos vértices sobre la recta $AB$? La respuesta tiene que estar en usar la bisectriz y la mediana (los datos aún no usados) pero ¿cómo?

El problema es avanzado y la forma más natural de resolverlo es mediante la evocación del concepto de rectas isogonales. En particular del teorema que dice que la altura de un vértice y el diámetro del circuncírculo por ese vértice son rectas isogonales. (Ver mi problema Isogonales.)

No obstante, puede ser un ejercicio de cierta utilidad "descubrir" ese resultado dentro de la resolución de este problema de construcción de una figura geométrica. Para ello es conveniente (creo) utilizar

Un enfoque de entusiasmo

Existe una antigua canción americana que solía escuchar antes de perder mi disco de Don McLean. Se llama "If I only had a match" e ilustra el entusiasmo extremo de un desposeido (como lo está un aficionado al problem solving con escasas herramientas teóricas). He aquí su letra:

If I only had a match, then my cares I'd soon forget.

All I need would be a match if I had a cigarette.

If I had a cigarette, I could make the smoke rings curl.

But I'd really be all set, if I only had a girl.

If I had someone like you, to hurry to, each night.

In a cozy bungalow, we'd know such sweet delight.

We could raise a family, and a little garden patch.

And to think this all could be, if I only had a match.

 

El enfoque de entusiasmo en el problem solving, sin embargo, debería seguir una lógica de necesidades más sana que la usada en esta canción: el cerillo es una necesidad accesoria después de haber correteado (to hurry to) a la chica y logrado el objetivo de esa acción y sólo entonces salir satisfecho a la veranda del bungalow a fumar...

Digamos, sin embargo, que la inversión de la lógica en esta canción es lo que le da el atractivo principal. Enseguida voy a tratar de ilustrar ese más sano

Enfoque de entusiasmo en el problem solving

Regresemos al problema y recordemos que lo que parecía factible de lograr (en el momento en que hicimos el paréntesis de entusiasmo) eran el vértice $A$ y la recta $BC$.

Para lograr los dos vértices restantes, es decir, para idear un plan de su ubicación, es donde puede ser de gran utilidad el enfoque de entusiasmo.

(El personaje de la canción debería preguntarse primero, en una lógica más sana, ¿cómo puedo conseguir esa chica y llevármela a mi casa? La respuesta, en una lógica más sana, sería: ¡primero compra el bungalow!... con todo lo que ello implica, por ejemplo, el sueldo de un jardinero... --lo cual posiblemente haría que nuestro desposeido abandonara todo el proyecto, al darse cuenta que no la podría financiar.)

Sin embargo, soñar es muy económico y en ello radica el atractivo del enfoque de entusiasmo en el problem solving. En lo que sigue, el plan derivado del enfoque de entusiasmo ya está depurado (los intentos fallidos no se muestran).

Inicio del talante entusiasta

Si tan solo tuviera el circuncírculo del triángulo $ABC$, mis preocupaciones se acabarían (my cares I'd soon forget). Porque las dos intersecciones con la recta $AB$ serían los vértices faltantes.

Pero, tendría el circuncírculo si tan solo tuviera el circuncentro $O$ ($OA$ sería el radio).

Y tendría el circuncentro $O$ si tan solo tuviera el punto medio $M$ de la base $AB$ ($O$ está sobre su mediatriz)... pero me falta otra recta para ubicarlo... es decir, para que todo estuviese realmente a punto (...I'd really be all set)... Por lo pronto hagamos un resumen de

La cosecha del entusiasmo

Para lograr la meta de trazar el circuncírculo necesito el circuncentro. Y éste está sobre la mediatriz del lado $BC$. Por tanto necesito el punto medio $M$ de $BC$. Lo cual puedo lograr con la longitud de la mediana --la cual sería el radio de un círculo con centro en $A$...

De nuevo: tendría el circuncentro $O$ si tuviera la recta $OA$ (su intersección con la mediatriz sería el circuncentro). ¡Ooops!  Este es un momento crítico. Dan ganas de abandonar todo el proyecto pero... ¡renovemos el entusiasmo!

He aquí una idea que puede ayudar a comprar el bungalow --y todo lo que ello implica: ¡falta usar la longitud de la bisectriz! Intentemos renovar el entusiasmo haciendo la figura de lo que llevamos --y lo que no llevamos:

Para sacar provecho de la figura hay que acordarse (traer a presencia y usar) que la bisectriz corta al arco $BC$ por la mitad. Por tanto, la mediatriz de $AB$ y la bisectriz se cortan sobre el circuncírculo.

Y con esto ¿qué es lo que vemos? ¡Vemos el isósceles $AM_aO$ ! ¡¡Con ello ya podemos comprar el bungalow!!

Porque el ángulo que forma $AO$ con la bisectriz (desconocido) es el mismo que el que forma la altura con la bisectriz (conocido). De ahí que la recta $AO$ que nos faltaba para ubicar $O$ ya se puede construir. (La bisectriz se construiría con su longitud como radio y haciendo centro en $A$ ¿OK?)

Un subproducto para usar en problemas posteriores

De paso hemos demostrado el teorema planteado en el problema Isogonales.
Este teorema ahorraría al cognizador todo este improbable razonamiento de entusiasmo --improbable pues en el contexto de un examen de concurso el tiempo es un recurso extremadamente escaso.

(Si el desposeido trajera ropa de marca y un auto de lujo, no necesitaría palabras de amor ni promesas de matrimonio --la frase no es mía se los prometo... yo no soy el único políticamente incorrecto en el pueblo...)

Los saluda
jmd

PD: El problema es de la Colección de Jacopo D'Auricio (oro italiano, IMO 2003), no así la solución de la cual me hago totalmente responsable. (Díganme si está bien...)

PD2: La colección de Jacopo DÁuricio está en italiano ¿qué tiene?

PD3: Claramente faltó resumir la solución en un procedimiento paso a paso. Lo dejo como un ejercicio para el ciebernauta.

PD4: Con tanto entusiasmo me faltó decir que la isogonalidad es consecuencia directa del paralelismo de $AP$ y $OM$ y la transversal $AM_a$ (por alternos internos).