Generador de problemas razonados

Enviado por jmd el 25 de Octubre de 2009 - 19:45.
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Consideremos el siguiente problema razonado:

Encontrar 5 números consecutivos cuya suma sea 70

 

Solución (con álgebra)

$ n+1+n+2+n+3+n+4+n+5=70 $

$ 5n+1+2+3+4+5=70 $

$ 5n=70-15=55 $

$ n=11 $

Por lo tanto los números son $ 12,13,14,15,16. $

Otra forma de resolverlo (sin ecuaciones)

Si todos los números fuesen iguales, sería el 14 sumado 5 veces. Ahora observo que 14+14+14+14+14 se puede convertir en la misma suma, pero de consecutivos --tomando como centro el 14 central y repartiendo:

          14

     13+14+15

12+13+14+15+16

En lo que sigue voy a explicar la creación de problemas razonados de este tipo.

Para lograr el generador de problemas,en primer lugar hay que observar que el número de consecutivos debe ser impar para poder tener un centro (como en la segunda solución).

La suma sería $ n+1+n+2+…+n+k $, o sea, queremos la suma de $ k $ consecutivos iniciando con $ n+1 $.

Pero esta suma es la diferencia entre la suma desde 1 hasta n+k y la suma de 1 hasta n. Esto se obtiene con la fórmula 1+2+3+…+n=n(n+1)/2.

Haciendo los cálculos se obtiene que la suma de los k consecutivos debe ser (k/2)(2n+k+1).

El generador se podría programar:

Elige un número entero positivo k.

Elige un número entero positivo n.

Calcula S=(k/2)(2n+k+1).

Output: Encuentra k números consecutivos cuya suma sea S.

Éste y otros generadores se implementarán en la sección de Quiz de MaTeTaM.

Los saluda

jmd