Pensar matemáticamente

Ahora que está de moda hablar (en educación matemática) de matematizar, situaciones reales o formales, como una vía para enseñar matemáticas en la escuela, puede ser de alguna utilidad tematizar este verbo en un post de MaTeTaM. Ver mi post sobre Letracidad Matemática

¿Qué significa matematizar? (Yo matematizo, tu matematizas, el profe matematiza, nosotros matematizamos, vosotros matematizan, las maestras matematizan.)

Básicamente el término matematizar se refiere a traducir a lenguaje matemático una situación problema. (Pero el proceso no para ahí: sigue resolver el problema ya matematizado y regresar la solución a la situación problema --en una especie de traducción en reversa, de las matemáticas al mundo real.)

El siguiente ejemplo ha alcanzado amplia difusión  en las reformas educativas mexicanas (se deja como ejercicio para el lector el matematizarlo y resolverlo):

El consejo municipal ha decidido poner un reflector en un pequeño parque triangular de manera que éste ilumine todo el parque. ¿Dónde debería ubicarse el reflector?

Como ejemplo de matematización, me gustaría comentar sobre el comentario-solución de Jesús Rodríguez Viiorato al problema 2 del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2009. Reproduzco el enunciado a continuación:

En cajas marcadas con los números  0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:

si $ p $ es un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1.
si el número $ a $ se coloca en la caja con el número $ m_a $ y $ b $ se coloca en la caja con el número $ m_b $, entonces el producto de $ a $ y $ b $, es decir, $ ab $, se coloca en la caja con el número $ am_b+bm_a $.

Encuentra todos los enteros positivos $ n $ que cuando se coloquen queden en la caja con el número $ n $.

Es conocida la metáfora de la distribución de bolas distintas en cajas, también distintas, para introducir el concepto de función (discreta): $f(i)=j$ se interpreta como "la bola i se coloca en la caja j". Ver por ejemplo, en google books Principles of Combinatorics de Claude Berge (p. 14). De esta manera, al ser letrado en la cultura matemática, Jesús pudo ver inmediatamente el modelo funcional en el enunciado del problema:

f(n)= 1 si p es primo; y si $f(a)=m_a$ y $f(b)=m_b$, entonces $f(ab)=am_b+bm_a$

(Estas dos propiedades definen la función.)

El primer paso en la matematización (de la distribución de los números en las cajas) está dado: la situación descrita en el enunciado se convierte en una función, un objeto más conocido y --se espera-- más fácil de manejar.  El segundo paso es explorar las propiedades de la función (el objeto matemático) con la finalidad de caracterizarla a partir de las propiedades que la definen:

Claramente $f(1)=0$ (nos dice Jesús). Nótese cómo lo demuestra: $ f(1)=f(1\cdot 1)=1f(1)+1f(1)=2f(1).$ (Un número es el doble de sí mismo ¿qué se puede concluir?). Ahora bien, en la exploración inicial  --a diferencia de Jesús que vio una derivada y de ahí obtuvo la función $\phi$-- el cognizador puede emprender una exploración más a fondo de $f$ hasta llegar a caracterizarla adecuadamente:

• "Si $ N $ fuese el producto de dos primos, digamos $N=pq$, entonces, de acuerdo a la segunda regla, $f(pq)=p\cdot {1}+q\cdot {1}=p+q"$
   
• "Si $N=p^2$ entonces $f(p^2)=p\cdot 1+p\cdot {1}=2p$, y si fuese $p^3$ entonces $f(p\cdot p^2)=p\cdot 2p+p^2\cdot {1}=3p^2$... mmh esto va dando sentido..."
   
• "Si $N=p^k$ entonces... ah claro... $f(p^k)=kp^{k-1}$..."
   
• "Veamos ahora qué pasa si $N=p^mq^n$: $$ f(N)=p^mf(q^n)+q^nf(p^m)=p^{m}(nq^{n-1})+q^n(mp^{m-1})=p^mq^n(\frac{m}{p}+\frac{n}{q})"$$
   
• "Esta expresión está muy fea... pero... ¿y si la divido entre $ N $ y defino otra función $g$?: $$g(N)=\frac{f(N)}{N}=\frac{m}{p}+\frac{n}{q}"$$
   
• "Creo que ya está, ahora solamente pruebo por inducción la fórmula general para $g(N)$ con $ N $ en su descomposición canónica: $N=p^m \cdot q^n \cdot r^k \cdots $"
  
   

Así que una vez que el cognizador probó por inducción la fórmula $g(p^m \cdot q^n \cdot r^k \cdots...)=m/p+n/q+k/r+\ldots$ (Jesús la llamó $\phi$) la demostración puede continuar como la de Jesús.

Fácil ¿no es cierto? Cierto. Pero sólo en el caso en que se tenga un modo matemático de razonar (y se tengan los conocimientos necesarios apra manejar funciones raras como ésta). Notemos, para finalizar, que hay tres momentos en que el modo matemático de razonar es indispensable.

Primero está la conceptualización de las reglas de asignación de los números en las cajas como una función. De esta manera, el problema es atraído a un dominio conocido del matemático (el problema "se jala a terreno" como dicen en Viento Libre) y, para estudiar las funciones, tiene una caja llena de herramientas.

El segundo momento es la exploración de las propiedades de la función a partir de su definición en el enunciado. Jesús las vio casi a golpe de vista, y rápidamente las estableció caracterizando en dos patadas la función como una derivada.

Pero un cognizador que no tiene la herramienta del cálculo, verosímilmente procedería como arriba dije llegando a la misma caracterización, la cual incluye la definición de una nueva función $ g $ ($ \phi $ en el comentario de Jesús). Y el llegar a definir la $ \phi $, como una forma natural de simplificar la notación, es el tercer momento de abstracción, el tercer momento en la matematización del problema. A partir de ahí la solución del problema se hace evidente.

¿Cuánto entrenamiento ha necesitado Jesús para llegar a desarrollar su  letracidad matemática? Bueno, posiblemente desde sus años escolares cuando en Mexicali asistía al Club de Matemáticas del Colegio de Bachilleres --bajo la dirección de Jerónimo Castro. Las medallas internacionales (bronce en la IMO y oro en la OIM) datan de 1997 y ahorita está terminando su doctorado en matemáticas en el Instituto de Matemáticas de la UNAM. Definitivamente está inmerso en la cultura matemática, en un sistema de prácticas dentro de un modo de vida. (Excepcional es el hecho de que solamente necesitó de un año para llegar a la IMO.)

Los saluda
jmd