Nota: el problema del taxi fue usado por Tversky and Kahneman (reportado en 1980 en Causal schemas in judgments under uncertainty. Progress in social psychology (pp. 49-72), ed. M. Fishbein. Erlbaum.) para probar el sesgo humano de ignorar la tasa de base. La respuesta más frecuente de los sujetos a quienes se les presentó fue 80%, la confiabilidad del testigo. (La tasa de base puede definirse como la frecuencia relativa con la que un evento ocurre o un atributo está presente en una población –en el caso del problema del taxi sería el 15%, la proporción de taxis azules en la ciudad.)
El problema
Un taxi estuvo involucrado en un accidente nocturno: golpeó y escapó. Hay dos compañías de taxis en la ciudad: la verde y la azul. Los siguientes datos están disponibles:
a)El 85% de los taxis de la ciudad son verdes y el resto son azules.
b) Un anciano asegura que desde su ventana vio que el que taxi era azul.
El testigo fue sometido a pruebas sobre la confiabilidad de su testimonio y se lograron los siguientes resultados: el 80 % de las veces acierta en el color y falla en el 20%.
¿Cuál es la probabilidad de que el taxi involucrado en el accidente sea azul y no verde?
Solución al problema del taxista (con razonamiento frecuentista)
Como 15 de cada 100 taxis son azules entonces, si el taxi hubiese sido verde (85), el testigo habría fallado en 17 casos (85*.20) y acertado en 12 (15*80). Es decir, habría dicho azul en 29 casos --independientemente de su veracidad. Por tanto la probabilidad de azul es 12/29=.41. (De los 29 casos que dice azul, en 12 acierta.)
Análisis intuitivo del problema del taxista
Tomando en cuenta solamente la proporción de taxis azules (15% --la tasa de base o probabilidad a priori), lo más probable es que haya sido un taxi verde el responsable del accidente. Es decir, sin el testimonio del anciano podríamos apostar a que fue un taxi verde el responsable.
Por otro lado, una vez que tomamos en cuenta el testigo (evidencia particular sobre el caso), debería ser claro que se tiene que tomar en cuenta ese testimonio. Y también debería ser claro que la probabilidad de que haya sido azul es mayor que el 15% de la tasa de base.
Si se tomase en cuenta solamente la confiabilidad del testigo, esa probabilidad subiría hasta el 80%, y las apuestas cambian de manera radical hacia el otro extremo. Entonces debe haber un punto intermedio para el valor de esa probabilidad. Ese punto intermedio puede ser calculado usando la regla de Bayes.
El problema está en la percepción y el juicio humanos. ¿A quién le otorgamos más credibilidad? ¿A un dato estadístico o a un anciano que vio el accidente? (“Lo vi con mis propios ojos”) ¿Qué es más racional? ¿Creer en un dato estadístico o en la palabra de un anciano?
Pregunta final (y reflexión filosófica sobre educación matemática)
Si bien es cierto que las diversas evaluaciones sobre las competencias matemáticas de nuestros estudiantes –desde PISA hasta ENLACE pasando por CENEVAL—han demostrado que estamos destinados a perpetuidad a seguir siendo analfabetos en matemáticas, no es claro, sin embargo, que mejorando la educación matemática en nuestras escuelas nuestros futuros ciudadanos puedan tomar mejores decisiones con las herramientas matemáticas adquiridas en la escuela.
Porque todavía quedaría por resolver la cuestión de ¿cómo convencer al estudiante –y al hombre de la calle—que la regla de Bayes es mejor que el juicio intuitivo?
Los saluda
jmd