Problemas resueltos de distribución normal
En vitutor.com encontrarás problemas resueltos de distribución normal (aunque la tabla que usan es la acumulada $P(Z\leq z)$, puedes seguir el razonamiento hasta antes de leer en la tabla usual del área de 0 a z. )
Incluye problemas en que, dada la probabilidad hay que encontrar el evento. Para esos casos hay que buscar la probabilidad en el cuerpo de la tabla y, una vez ubicada, se tiene también ubicadas una fila y una columna. En la fila se lee z hasta décimas y en la columna las centésimas de esa z.
PROBLEMAS TÍPICOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NORMAL
- Se dan como datos valores que toma la variable aleatoria y parámetros de la misma (media y desviación estándar).
- Se piden probabilidades de eventos descritos en términos de intervalos: probabilidad de que los valores de la variable sean inferiores o superiores a uno dado, probabilidad de que esté comprendida entre dos valores, etc.
- La probabilidad buscada es el área bajo la curva normal en el intervalo dado.
- Para calcular esa probabilidad o área se usa una tabla de la normal estándar.
El proceso para resolverlos es el siguiente:
- a)Se estandariza o tipifica la variable restando la media y dividiendo entre la desviación estándar a cada uno de los valores de la variable dados.
- b)Se consulta de la tabla y se usan las propiedades de la curva normal para determinar la probabilidad.
Ejemplo
Los salarios quincenales en la universidad siguen una distribución normal de media 7000 pesos y desviación típica 2000 pesos.
a) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 6000 y 9000 pesos por quincena?
b) Sabiendo que un 10% de las personas ganan más que el trabajador X ¿Cuánto gana el trabajador X?
Solución
a) Se tipifican los valores de la variable aportados usando los parámetros de la distribución normal que son conocidos: x=9000 se corresponde con z=1=(9000-7000)/2000 y x=6000 con z=-0.5=(6000-7000)/2000.
Entonces se tiene que calcular la probabilidad P(-0.5<Z<1). Y como la tabla da los valores del área bajo la curva entre 0 y un valor positivo, se aprovecha la simetría de la curva normal para transformar la probabilidad pedida a P(0<Z<0.5)+P(0<Z<1). Y se calculan esas áreas (probabilidades) con la tabla. Son 0.1915 y 0.3413, así que la probabilidad pedida es 0.4328.
b)Este es el problema inverso: se da la probabilidad 0.1 y se quiere encontrar la Z para después transformarla en la X con los parámetros dados. Se plantea así: P(X>x)=P(Z>(x-7000)/2000)>0.10. Donde (x-7000)/2000 es la z de la tabla que vamos a encontrar.
De acuerdo al tipo de tabla que estamos usando esa probabilidad tiene que transformarse (aprovechando la simetría) a 0.5-0.10=0.40=P(0<Z<z). Entonces buscamos el 0.40 en el cuerpo de la tabla (o el valor que más se le aproxime) y encontramos el valor correspondiente de z.
El valor de z es 1.28 (el valor más cercano a 0.40 en el cuerpo de la tabla es 0.3997 que está en la fila del 1.2 y la columna .08) y la X correspondiente es 9560, valor calculado despejando X de z=(x-7000)/2000.
Los saluda
jmd