Si tienes la teoría, la práctica es más eficaz

El problema 1 del concurso estatal

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001

pone en juego uno de los conocimientos más elementales de las matemáticas escolares: el significado de "múltiplo" y el algoritmo de la división. No se necesita más para resolverlo.

El método directo es emprender la división entre 1001. Pero son muchas cifras... tantas que no caben todas en la hoja de papel. ¿Entonces? Bueno, lo que está obligado a hacer el cognizador es a idear una estrategia alternativa.

Pero entonces sí se necesita más que el algoritmo de la división. Bueno, pero no mucho más. Voy a comentar enseguida tres estrategias que se vieron en los exámenes del concurso estatal para darle la vuelta a una tarea imposible. (Notemos que quien hizo el 1 y un poquito más es ya preseleccionado.)

Identificación de un ciclo

La estrategia directa la realizó uno de los preseleccionados, si bien combinada con el descubrimiento de "un patrón de tres ceros después del 1 seguidos de tres nueves". Es decir, después de iniciada la división y haber visto que resultaba 999000999000 de cociente observó el patrón: "el último 9 que hay en la división deja como residuo 1..."

Y entonces escribió todos los bloques de tres ceros y tres nueves hasta llegar al final, en que al bajar los dos ceros y el 1 final, el cociente es 1. (Los escribió en dos renglones a lo largo de la hoja y con números chiquitos.)

¿Qué tenemos aquí? Tenemos a una mente adolescente que no se ha desprendido aún de lo concreto de las operaciones aritméticas (a pesar de que ya está en el bachillerato --fue un 7.5 ).

Se esperaría que algún día se atreviera a razonar generalizando, emprendiendo así la larga marcha hacia el razonamiento abstracto que requieren las matemáticas.

Razonar generalizando

Una marcha que ya emprendió una de las concursantes (15 puntos): "Cada 6 ceros se repite que sobra 1; si en total tenemos 200 ceros y se dividen entre 6, el residuo es 2; o sea que al final, después de un (residuo) uno hay dos ceros, más la última cifra que es 1, tendríamos..." (Aquí puso la casita de la división ilustrando el resultado final.)

Lo que tenemos aquí es una mente adolescente que ya se ha desprendido de las operaciones concretas y "ya le cree" a un razonamiento que no tiene que pasar por todos los ciclos intermedios yéndose directo al final, el cual es el importante para la conclusión.

(Un razonamiento parecido lo hace un 18 puntos: dividiendo primero el número entre 11, comprueba que el cociente es divisible entre 91 identificando un ciclo como las dos niñas de 15 puntos.)

Otra álgebra

El siguiente paso para estos adolescentes es apropiarse del álgebra de congruencias. Ello les permitiría realizar el análisis residual directamente, sin pasar por la división y la identificación de ciclos.

Véase el argumento de Bernardo: "Se puede observar que $10^3\equiv -1\pmod {1001}$, y el número es $10^{201}+1=(10^3)^{67}+1$. Entonces $(10^3)^{67}+1\equiv (-1)^{67}+1\pmod{1001}$."  (Y continua con un renglón más para concluir.)

Bernardo está ya entrando al razonamiento abstracto, si bien con una maquinaria (el álgebra de congruencias) que quizá no conoce todavía totalmente. Y, sin embargo, con este éxito adquirirá confianza en ella (el significado está en el uso) y la seguirá estudiando pues ha visto que es útil, dado que le permite resolver este tipo de problemas en tres patadas.

Un análisis similar al de Bernardo lo realiza Patsy; y Germán, pero con los factores de 7,11,13 de 1001. En total fueron tres los adolescentes del concurso estatal que conocen la maquinaria de la aritmética modular. (De aquí no se debería concluir nada, pues el álgebra de congruencias se aprende relativamente fácil con voluntad y dedicación --esperemos que no sea precisamente eso lo que no estén dispuestos a aportar los preseleccionados a las Matemáticas en Tamaulipas...)

La importancia del análisis previo del problema

Destaquemos que el análisis previo del problema es todavía necesario (quiero decir, la teoría no te va a decir qué decisiones debes tomar), sin importar cuáles sean tus herramientas. Pues se tiene que decidir que la maquinaria de las congruencias es la adecuada para este problema, y después buscar "el uno" (Bernardo recurre al -1 que es igualmente eficaz en este problema). Una vez hecho esto, lo demás es pan comido.

El análisis previo es importante porque como resultado de él se toman decisiones. Y esas decisiones tendrán efectos en el proceso de resolución que le sigue. Bernardo tomó la decisión más económica y resolvió el problema en media hoja. En contraste, Germán --con la misma maquinaria a su disposición-- no vio que se podía tomar el 1001 como módulo y descompuso este número en sus factores. Su análisis fue igualmente exitoso que el de Bernardo sólo que le tomó el triple de tiempo.

Destaquemos, para finalizar, que bajo la presión del tiempo y la tensión psicológica que genera un concurso es fácil no ver cuál es la estrategia más económica. Equivocarse en la estrategia de resolución es algo que les puede suceder a los más dotados.

Epílogo

De los 25 preseleccionados solamente tres tienen las herramientas adecuadas. Y aquí tengo que decir algo políticamente incorrecto, respecto a los otros 22, para no decepcionar a mis fans. Como rezaba una broma --al parecer una anécdota verídica-- sobre una selección olímpica mexicana de natación (al regresar de la olimpiada y ser entrevistado el entrenador en el aeropuerto): "Nos fue relativamente bien: ninguno de los seleccionados se ahogó."

Los saluda
jmd