¡Tienes que ver la conexión!

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En este post voy a comentar sobre una estrategia del problem solving de concurso que podríamos llamar ¡Tienes que ver la conexión!. Lo haré a través de dos ejemplos clásicos y relativamente bien conocidos en los círculos de la olimpiada de matemáticas.

Problema 1: Si la suma de dos números es 2 y su producto es 3 ¿cuál es la suma de sus recíprocos?

Solución

El problema admite el modelo
$$a+b=2$$
$$ab=3$$

Encontrar $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$

Pero $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{3}$$

Y ya acabamos.

Comentario

Notemos que la pregunta no obliga a primero obtener los números $a,b$ para después calcular la suma de sus recíprocos. Aunque también se puede hacer, ese procedimiento complica la solución --a pesar de que es el método más directo. Pues implica pasar por los complejos para después regresar a los reales. Véase:

Si se saben las fórmulas de Vieta o simplemente por sustitución, los números buscados son las raíces de la cuadrática $a^2-2a+3=0$. Pero sucede que esas raíces son (aplicando la fórmula general) $a=1\pm{i\sqrt{2}}$. ¿Y ahora? ¿Cómo se juega esto? Bueno, se juega con las reglas de los números complejos. ¡Créanme que la suma de los recíprocos de las dos raíces complejas sí es 2/3!

Comentario 2

La dificultad de ver la solución o buscar la solución estilo olimpiada (llamémosle así a falta de un mejor nombre) es poder conectar el modelo de los datos ($a+b=2,ab=3$) con el modelo de la pregunta ($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$). Porque no es totalmente evidente que la pregunta se pueda modelar como $\frac{a+b}{ab}$.

Moraleja: Trata de modelar simbólicamente la pregunta y busca la conexión con el modelo de los datos. (¿Qué es lo que me están pidiendo? ¿Cuál es la relación de eso que me piden con los datos?)

Problema 2: En el triángulo $ABC$, $E$ y $D$ son puntos interiores de los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. $AF$ es bisectriz  del $\angle{CAD}$ y $BF$ es bisectriz del $\angle{CBE}$. ($F$ es la intersección de las dos bisectrices.) Demostrar que $\angle{AEB}+\angle{ADB}=2\angle{AFB}$

Solución

Llamemos $x$ a los dos ángulos iguales formados por la bisectriz de $\angle{CAD}$ y denotemos con $y$ a los formados por la bisectriz de $\angle{CBE}$.

Es fácil ver que $\angle{AEB}$ es exterior del triángulo $EBC$ y que $\angle{ADB}$ lo es del triángulo $CAD$. De ahí que $\angle{ADB}=2x+\angle{C}$ y $\angle{AEB}=2y+\angle{C}$. Entonces su suma es $2x+2y+2\angle{C}$.

Hasta aquí el razonamiento fluyó sin problemas. Pero falta el otro lado de la ecuación. Y aquí es donde debemos preguntarnos ¿cuál es la conexión? ¿cómo paso del lado izquierdo al lado derecho?

En el proceso de búsqueda, podemos llevarnos un buen rato --pues la conexión no es directa. Y, sin embargo, si confiamos en que el resultado es cierto entonces esa conexión existe.

Tarde o temprano (si somos persistentes) llegaremos a ver que si prolongamos $AF$ hasta $A'$ en $CB$ y $BF$ hasta $B'$ en $AC$  entonces se hará evidente que el ángulo $\angle{C}$ (que aparece en el lado derecho de la ecuación) es exterior en los dos triángulos $AFB'$ y $BFA'$. Pero el ángulo en $B'$ es a su vez exterior en el triángulo $BB'C$ y el ángulo en $A'$ es exterior en el triángulo $AA'C$. Haciendo las cuentas se llega al resultado (el lado derecho de la ecuación que queríamos demostrar).

Comentario

Notemos que el ángulo $F$ está aislado y, en consecuencia, "pide" una conexión con el resto de la configuración. La manera más fácil de conectarlo es prolongando $AF$ y $BF$ hasta cortar, respectivamente, los lados $BC$ y $CA$. Ello permite usar los datos y, aunque la conexión entre los dos lados de la ecuación todavía no se hace evidente, la necesidad de usar el ángulo $C$ nos llevará rápido a la solución.

Los saluda
jmd

PD: El lector debería bosquejar la figura para orientarse en el argumento presentado en el problema 2. 




Imagen de San P. Lucas

mmmm... Algo así como, hagan

mmmm... Algo así como, hagan un acto de Fé y creanme, está bien creeré que la suma de dos reciprocos, de las dos raices complejas es 2/3.

 

Imagen de jesus

Hola San P. Lucas, No hay

Hola San P. Lucas,

No hay necesidad de hacer ningún acto de Fé. La fórmula demuestra que esa suma de recíprocos es $2/3$

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{3}$$

Aunque, si algun estudiante no puede observar la ecuación anterior, entonces tendrá que hacer las operaciones con los números complejos. Y ahí un acto de Fé no será válido.

Saludos