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Voy a plantear aquí la idea de que el entrenamiento en solución de problemas de concurso debería estar enfocado al diseño e instalación, en la mente del aprendiz, de dispositivos cognitivos que faciliten el acceso de la estrategia adecuada para la solución de problemas específicos. 

Se trata de lograr que el aprendiz pueda instalar en su mente mecanismos de reconocimiento y asociación para que se le ocurra, dentro del tiempo disponible para un concurso, esas estrategias que después del concurso le pueden parecer tan sencillas que le resulta difícil imaginar por qué no se le ocurrieron ahí.

Nota: el problema del taxi fue usado por Tversky and Kahneman (reportado en 1980 en Causal schemas in judgments under uncertainty. Progress in social psychology (pp. 49-72), ed. M. Fishbein. Erlbaum.) para probar el sesgo humano de ignorar la tasa de base. La respuesta más frecuente de los sujetos a quienes se les presentó fue 80%, la confiabilidad del testigo. (La tasa de base puede definirse como la frecuencia relativa con la que un evento ocurre o un atributo está presente en una población –en el caso del problema del taxi sería el 15%, la proporción de taxis azules en la ciudad.)

El problema

El viernes 17 de octubre se realizará la II Olimpiada de Matemáticas de la Secundaria 4 en Cd. Victoria. A ese evento va dedicado este post.

La niña y su abuelo

Consideremos el siguiente problema apoyados en la figura: demostrar la concurrencia de la línea media MN, la bisectriz de B, y la cuerda PQ (P, Q son los puntos de tangencia del incírculo con los lados AB y AC).

Solución

Con la cuerda y la bisectriz cruzando en T, trazamos MT. Vamos a demostrar que MT es línea media.

Consideremos las siguientes proposiciones:

Proposición 1: En cualquier conjunto de $n+1$ números naturales siempre hay dos cuya diferencia es múltiplo de $n$.

Proposición 2: Cualquier número natural $n$ tiene un múltiplo $kn$ formado únicamente por ceros y unos (en su representación usual del sistema decimal).

¿Qué relación hay entre estas dos afirmaciones? Lo primero que se nota es que ambas contienen la frase "múltiplo de $n$"

Recordemos que la primera afirmación se demuestra por el principio de pichoneras: hay dos con el mismo residuo al dividir entre n, por lo tanto...

Desordenamientos (derangement)

Dentro de las aplicaciones del principio de inclusión-exclusión está el conteo de permutaciones con posiciones restringidas. Un caso especial de éstas son los desordenamientos, en los cuales se impone la restricción de que ningún elemento esté en su lugar original.

Recordemos que una permutación sobre $n$ elementos es una biyección $f:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\}$. Un desordenamiento en combinatoria es una permutación en la cual ningún elemento está en su lugar. Formalmente, un desordenamiento es una biyección $f$ de un conjunto finito $S$ en sí mismo sin puntos fijos (para toda $s$ de $S, f(s)$ es diferente de $s$).

Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.)
– Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Solución

El problema se deja modelar con el sistema de congruencias siguiente:

$n=2(mod3)$
$n=3(mod4)$
$n=0(mod5)$

El enunciado del siguiente problema es clásico. El problema se denomina "el cocinero chino". Se usa para ilustrar el teorema chino del residuo.

Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Solución biyectiva ("descubierta" con el método regula falsi)

Sin restricciones serían $C(n,r)$. Pero algunos de esos subconjuntos tienen consecutivos. Sea $B = \{b_1,b_2,...,b_r\}$ un subconjunto de $S$ de tamaño $r$. Por ejemplo, si fuese $B = \{1,2,...,r\}$, lo podríamos convertir a $ \{1,3,5,...\}$ --que no tiene consecutivos--, lo cual equivale a dejar el primero igual, sumarle 1 al segundo, 2 al tercero, etc.Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Se tienen 7 bolas blancas y 5 negras. ¿De cuántas formas se pueden colocar las 12 en hilera sin que haya dos negras juntas?

Solución

Coloco las 5 negras. Utilizo 4 blancas para separarlas. Me quedan 3 blancas. ¿Dónde las pongo? Es decir ¿cuántas formas hay de colocarlas en la hilera de las ya colocadas? Este problema es difícil a pesar de su aparente simplicidad. Una forma de responder a la pregunta es separar en casos: coloco las tres en lugares diferentes, coloco dos juntas en un lugar y la otra en otro lugar y, finalmente, las coloco las tres en un solo lugar.