Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Máximo con restricciones

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2010 - 21:26.

Los números reales $a,b,c,d,e$ suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener $e$.

Problema

Cuadrilátero completo y puntos medios de sus diagonales

Enviado por jesus el 10 de Abril de 2010 - 23:49.

Consideremos $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro rectas no tres de ellas concurrentes (es decir, un cuadrilátero completo) y no dos de ellas paralelas. Demuestra que son colineales los puntos medios de las tres diagonales del cuadrilátero completo.

Nota: Las diagonales de un cuadrilátero completo son los segmentos que unen un punto de intersección de dos de sus lados con el de los otros dos lados.

Problema

Ciclos de residuos en una progresión geométrica

Enviado por jmd el 5 de Abril de 2010 - 20:27.

Sean $a$ y $g$ enteros positivos coprimos con un módulo $m$ (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre $m$) los términos de la progresión aritmética $a,ag,ag^2,\ldots$. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si $t$ es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces $t\leq \phi(m)$
 

Problema

Solución de congruencias potenciales

Enviado por jmd el 3 de Abril de 2010 - 08:45.

Sea $a$ un entero positivo, coprimo con un primo $p$. Analizar la ecuación de congruencias $x^n \equiv a \pmod{p}$ en cuanto a sus posibles soluciones.

Problema

Raíces primitivas de un primo: una propiedad logarítmica

Enviado por jmd el 2 de Abril de 2010 - 19:24.

Sean $p$ un número primo y $g$ una de sus raíces primitivas. Demostrar que dos enteros positivos $i,j$ son equiresiduales en la división entre $p-1$ si y sólo si $g^i,g^j$ son equiresiduales en la división entre $p$

Problema

Vieta en descenso infinito

Enviado por jmd el 13 de Marzo de 2010 - 18:01.

Considere el cociente $k$ que resulta de dividir $x^2+y^2+1$ entre $xy$, con $x,y$ enteros positivos y la división tiene residuo cero. Determine todos los valores enteros posibles de $k$.

Problema

Ejercicio 3.3.9

Enviado por jesus el 2 de Marzo de 2010 - 18:12.

Sean $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4, \pi_5, \pi_6$ tres planos en un espacio proyectivo tridimensional de tal manera que cada uno de los siguientes conjuntos de tres planos tienen una línea común de intersección:

\[\{\pi_1, \pi_2, \pi_3\}, \{\pi_1, \pi_4, \pi_5\}, \{\pi_3, \pi_5, \pi_6\}, \{\pi_2, \pi_4, \pi_6\}\]

Más aun, no cuatro de éstos planos tienen una línea común.

Prueba que los seis planos tienen un punto en común.

Problema

Ejercicio 3.3.12

Enviado por jesus el 2 de Marzo de 2010 - 17:55.

Demuestra lo siguiente sobre planos afines:

Problema

Ejercicio 3.3.6

Enviado por jesus el 2 de Marzo de 2010 - 17:32.

Supon que el teorema de Desargues es válido en un cierto plano proyectivo $\mathcal{P}$. Prueba que su converso también será válido sin utilizar el Principio de Dualidad.

Problema

Ejercicio 3.3.1

Enviado por jesus el 2 de Marzo de 2010 - 17:27.

Considera la tripleta $(\mathcal{P}, \mathcal{L}, \mathcal{I})$ con $\mathcal{P}=\{1,2,3, 4\}$, $\mathcal{L} = \{a, b, c, d, e, f\}$ y $\mathcal{I} = \{(1,a), (2,a), (3,b), (4,b), (1,c), (3,c), (2,d), (4,d), (1,e),(4,e),(2,f),(3,f)\}$.

  1. Dibuja un diagrama de esta tripleta.
  2. Verifica que esta tripleta satisface únicamente dos de los axiomas de plano proyectivo.
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