Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

En sucesión modular busca el ciclo

Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $ n $ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $ 2 $.

 
Problema

suma de divisores

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $ n $ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $ n $.


 

 
Problema

Método del residuo chino

Una compañía de n soldados es tal que:

– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

 
Problema

2n-agono

Demostrar que para cada n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.