Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Sucesión en enteros indecisa

Decidir si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión $(X_n)$, definida como $X_1 =2010, X_2 = 2011$, $$X_{n+2} = X_n + X_{n+1} + a\sqrt{X_nX_{n+1} + b}$$ son números enteros.

 
Problema

El juego de biribol

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.

 
Problema

Desigualdad con áreas de dos triángulos

Sean $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY,BXZ,CYX$, respectivamente. Demuestre que:
$$(A'B'C')\geq (ABC)/4$$
y que la igualdad ocurre si y sólo si $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Nota: Para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área con $(RST)$.

 
Problema

Ecuación sin soluciones enteras

Pruebe que la ecuación $$x^{2008}+2008!=21^y$$ no tiene soluciones enteras $(x,y)$

 
Problema

Divisibilidad en un polinomio cúbico

Sean $m$ y $n$ números enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ y $y$ son enteros y 107 divide a $P(x)-P(y)$, entonces 107 divide a $x-y$. Demuestre que divide a 107 divide a $m$.

 
Problema

Bisectriz externa en un escaleno

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $l$ la bisectriz exterior del $\angle{ABC}$. Sean $P$  y  $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $l$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $CP$ y $AB$ y $AQ$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que las rectas $AC,MN$ y $l$ tienen un punto en común.

 
Problema

Familia de hexágonos convexos

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones:

  • (a) los lados opuestos de $H$ son paralelos;
  • (b) tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho 1.

Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$.

Nota: Una franja de ancho $l$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $l$ (incluidas ambas rectas paralelas).

 
Problema

Números a-tres-vidos

Un número natural $n$ es atresvido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al 1 y al n, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atresvido?

 
Problema

Saltos dragón en un tablero

En un tablero cuadriculado de tamaño $19\times 19$, una fiha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza 4 casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y 1 casilla en dirección perpendicular a la anterior.


 
Problema

Disputa por un territorio circular

Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n\geq 2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego.