Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Operación residual sobre dos enteros positivos

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $(a\nabla b)$ al residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0, 1,\ldots, b - 1$. Encuentre todas las parejas de números $(a, p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a\nabla p) + (a\nabla 2p) + (a\nabla 3p) + (a\nabla 4p) = a + p.$$

 
Problema

Ecuación de inversos

Sea $p > 3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{(p-1)^p}=\frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es 1. Demuestre que $p^3$ divide a $n$.

 
Problema

Pulga saltona --en la recta numérica

 Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento
salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b + (b - a) - 1, b + (b - a), b + (b - a) + 1.$

Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ entero
positivo, entonces ha debido hacer al menos $t$ movimientos, donde $t$ es el menor
entero mayor o igual que $2\sqrt{n}$.

 
Problema

Punto de corte de un conjunto de puntos

Para un conjunto $H$ de puntos en el plano, se dice que un punto $P$ del plano es un punto de corte de $H$ si existen cuatro puntos distintos $A, B, C, D$ en $H$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$. 

Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1, A_2, A_3,\ldots$ de la siguiente manera: para cualquier $j\geq 0$ , $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$.

Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito,
entonces para cualquier $j\geq 1$ se tiene que $A_j = A_1$.

 
Problema

Bisectrices y mediatrices de un escaleno

Dado un triángulo escaleno $ABC$, sean $A', B'$ y $C'$ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $A, B$ y $C$ con los lados opuestos, respectivamente. Sean $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$. Probar que $A'', B''$ y $C''$ son colineales.

 
Problema

Cuadrados perfectos formados con dos números

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

 
Problema

Igualdad de múltiplos comunes mínimos

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que  $$mcd (a, n) = mcd (b, n) = 1, k = a + b.$$

 
Problema

Lugar geométrico de centros de circunferencias

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A, M$ y $N$ al variar $M$.

 
Problema

Condiciones de coloreo de un tablero

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:

  • Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
  • De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.

Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.

 
Problema

Ningún término es múltiplo de 2003

Se definen las sucesiones $(a_n)_{n\geq 0} , (b_n)_{n\geq 0}$ de la siguiente manera:
$$a_0 =1 , b_0 = 4$$ y, para toda $n\geq 0$, $$a_{n+1}=a_n^{2001}+b_n, b_{n+1}=b_n^{2001}+a_n$$ Demuestre que 2003 no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.