Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Cobertura imposible

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor o igual que 1/2.

 

 
Problema

Naves marcianas en una cuadrícula

En un tablero de $2000 \times 2001$ cuadros de coordenadas enteras $(x,y)$, $0\leq x \leq 1999$ y $0 \leq y\leq 2000$, una nave se mueve de la siguiente manera:

 
Problema

Número máximo de subsucesiones aritméticas crecientes

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1 < a_2<...<a_n$ de $n > 3$ números reales.

Nota: Tres términos $a_i, a_j, a_k$ de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si $a_i < a_j <a_k$ y $a_j - a_i = a_k - a_j$.

 
Problema

Desigualdad para cardinalidades de subconjuntos

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1, S_2, \ldots, S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos.  Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1\leq i < j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$

 
Problema

Incírculo y condición suficiente para isósceles

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $X, Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.

Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

 
Problema

Números charrúas

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

  • Todos los dígitos de $n$ son mayores que 1.
  • Siempre que se multiplican cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

 
Problema

Área de un hexágono bonito

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

  • (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
  • (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.
 
Problema

Juego con un montón de piedras

Hay un montón de 2000 piedras. Dos jugadores juegan alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas:

  • (a) En cada jugada se pueden retirar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras del montón.
  • (b) En cada jugada esá prohíbido que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa.
  • (c) Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida.

Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

 
Problema

Geométrica por eliminación

De una progresión aritmética infinita $1, a_1, a_2\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita: $1, a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

 
Problema

Problema diofantino

Encontrar todas las soluciones de la ecuación
$$(x + 1)^y - x^z = 1$$
Para $x, y, z$ enteros mayores que 1.