Básico

Sea dada una circunferencia c de centro O y radio r, y un punto P fuera del círculo. Demostrar que el siguiente procedimiento produce el punto de tangencia T de la tangente que pasa por P.

1) Trazar el segmento OP.
2) Trazar la circunferencia de diámetro OP y llamar T a uno de los puntos de intersección con c.

Sea AP la altura de A respecto a la hipotenusa BC del triángulo rectángulo ABC. Demostrar que se cumplen las proporciones PB/BA=BA/BC y  BP/PA=PA/PC.

La línea de centros (recta que pasa por los centros) de dos círculos que se intersectan es mediatriz de su cuerda común.

La cuerda común de dos círculos pasa por el punto medio de la tangente común a los círculos. Demostrarlo.

Tomando como diámetros los lados AB y AC del triángulo ABC, se trazan sendos círculos. Demostrar que su otro punto de intersección (aparte de A) está sobre el lado BC.

Cualesquiera dos vértices de un triángulo son concíclicos con los pies de sus alturas.

Sea AB diametro de una semicircunferencia. Un punto M sobre la semicircunferencia y K un punto spbre AB. Una circunferencia con centro P pasa por A,M,K, y otra circunferencia de centro Q pasa por M,K,B. Demostrar que MPKQ es un cuadrilatero ciclico. 

La ecuación $x^2+bx+2=0$ tiene solamente una raíz. Determinar los valores de $b$.

Los puntos medios $L,M,N,O$ de los lados $QR,RS,SP,PQ$ de un cuadrado $PQRS$ se unen con con un segmento de recta a los vértices de éste de manera que se forme un cuadrado $P'Q'R'S'.$ Calcular la razón de áreas de los dos cuadrados.

El número 2009 se puede expresar como suma de $ n $ enteros impares consecutivos ($n\geq 2$) en varias formas. ¿Cuál es el menor valor posible de $ n $?