Experto

Nivel para la gente que ha tenido preparación para los internacionales de Matemáticas o que simplemente es muy hábil para resolver problemas.
Problema

6.- 480°???

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 19:17.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1$, $B_1$ y $C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1$ = $A_1C$, $CB_1$ = $B_1A$, $AC_1$ = $C_1B$ y <$BA_1C$ + <$CB_1A$ + <$AC_1B$ = 480°. 

Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$, y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$. 

Demuestra que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes. 

NOTA: un triángulo escaleno tiene sus 3 longitudes de lados distintos.

Problema

5.- Triángulo Japonés

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 18:54.

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en 1 + 2 + ... + $n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i$ = 1, 2, ..., $n$, la fila número $i$ contiene exactamente $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triángulo japoné es una sucesión de $n$ círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en el círculo de la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.

Problema

3.- Un polinomio, una sucesión infinita

Enviado por Samuel Elias el 17 de Julio de 2023 - 18:23.

Para cada entero $k \geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ para los cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + ... + c_1x + c_0$, con $c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que 

$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$

para todo $n \geq 1$

Problema

Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono

Enviado por jesus el 20 de Julio de 2022 - 10:19.
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$ , $B$, $A$, $Q$ aparecen sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$, $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos P , S, Q, R están en una misma circunferencia
Problema

P3 IMO 1993 - Tablero de ajedrez infinito

Enviado por jesus el 3 de Julio de 2022 - 12:52.

Sobre un tablero de ajedrez infinito se juega de la siguiente manera:

Al principio hay $n^2$ fichas dispuestas sobre el tablero en un cuadrado de $n\times n$ de casillas adyacentes, con una ficha en cada casilla. Cada jugada es un salto de una ficha en dirección horizontal o vertical sobre una casilla adyacente, ocupada por otra, hasta una no ocupada, contigua a ella. La ficha sobre la que se ha saltado se retira. Halle los valores de $n$ para los que el juego puede terminar quedando una única ficha en el tablero.

Problema

Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:57.

Se tienen $n \geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n -1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

Problema

Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:52.

 En la pizarra está escrita la ecuación $$(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x -1)(x- 2)\cdots (x-2016)$$ que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Problema

Problema 4 - IMO 2016 - Conjunto de enteros fragantes

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:42.

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si tiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de elementos restantes. Sea $P(n) = n^2 + n + 1$.  Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto $$\{P(a+1), P(a+2), \dots,  P(a + b)\}$$ es fragante.

Problema

Problema 3 - IMO 2016 - Área de un polígono cíclico de coordenadas enteras.

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 14:06.

Sea $P=A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \dots, A_k $ tienen coordenadas enteras y están sobre un círculo. Sea $\mathcal{S}$ el área de $P$. Los cuadrados de las los lados de $P$ son todos divisibles por un entero dado $n$. Demuestra que $2\mathcal{S}$ es divisible por $n$,

Traducido del inglés.

Problema

Problema 2 - IMO 2016 - Las letras de IMO en un tablero

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 11:42.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que:

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