Intermedio
1.- Números Tlahuicas
Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que
$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:
- 0 < x < 1
- existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.
El 6 del último selectivo 2022
Se definen las sucesiones xn y yn mediante las siguientes reglas:
- x0 = 2, x1 = 5, xn+1 = xn + 2xn-1
- y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1
Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.
Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia
Sea ABCD un paralelogramo. Sean K y L las intersecciones del circuncírculo de ABC con los lados AD y CD respectivamente. Sea M el punto medio del arco KL que no contiene a B. Demuestra que DM es perpendicular a AC.
El 6 del estatal 2022
En una circunferencia Γ con centro en D se trazan dos tangentes AE y AF con E y F sobre Γ. Sean B y C puntos sobre los segmentos AE y AF respectivamente de tal manera que BC también es tangente a Γ. Sea J la intersección de BD con EF. Demuestra que el ángulo CJB es un ángulo recto.
Problema 5 Estatal 2022
Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:
(3)(2x) + 4 = n2
El 3 del estatal 2022
Encuentra todos los valores para n de tal forma que la expresión
6n+1
sea un número con todos sus dígitos iguales.
El difícil de la segunda ronda (el 4)
Tenemos 16 mosaicos que tienen dos cuartos de circunferencia centradas en esquinas opuestas cuyo radio es la mitad del lado de la baldosa como se muestra:
Problema 3. 21a OMM Final Estatal
En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.
Subconjuntos con promedio entero
Triángulo con ángulo de 60º (OMM 2021 P4)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con $\angle BAC = 60 ^\circ$ y ortocentro $H$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$.
- Prueba que $\omega_b$ y $\omega_c$ solamente tienen a $H$ como punto común
- Prueba que la recta que pasa por $H$ y el ortocentro $O$ de $ABC$ es tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$