Intermedio

Determine el menor entero positivo $ N $  tal que la suma de sus dígitos sea 100 y la suma de $2N$ sea 110

Sea ABCD un cuadrado de centro O. Sean P, Q, R y S puntos en DA, AB, BC y CD, repectivamente,  tales que P,O y R son colineales; y Q, O y S también lo son (colineales), y de manera que  PR es perpendicular a QS. Demostrar que el cuadrilátero PQRS es un cuadrado.   

Encontrar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación $1/x+1/y+1/z=1.$

Demostrar que si $ k,n$ son enteros positivos sin divisores en común ($k,n$ primos relativos), entonces el máximo entero positivo que no se puede expresar como suma de múltiplos de $k$ y $n$ es $kn-k-n.$

¿Cuántas ordenaciones (permutaciones) de las letras $A,B,C,D,E,F,G$ no contienen los subórdenes $BGE$ ni $EAF$? Ejemplo: $ABCDEFG$ no contiene ninguno, pero $CBGEAFD$ tiene los dos.

En un triangulo $ABC $ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $ BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $A,B$, respectivamente. Desde $A$ se trazan las tangentes a $AR,AS$ con $R,S$ los puntos de tangencia, ademas estas rectas cortan a $C_1$ en $C,D$. De la misma forma se trazan las tangentes $BP,BQ$ a $C_1$ con $P,Q$ los puntos de tangencia, estas mismas cortan a $C_2$ en $E,F$, respectivamente. Entonces $EF=CD$

Una cuadrilla de jardineros recortó el pasto de dos prados, uno de doble área que el otro. Durante media jornada  toda la cuadrilla trabajó en el prado grande; después de la comida, la mitad trabajó en el prado grande y la otra en el pequeño.

¿Para qué valores de $ n $ (entero positivo),  los números $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$ no son primos relativos?

a) Calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de $4a^2+1$ y $2a-1$, donde $a$ es un entero positivo cualquiera.

b) Calcular el residuo de $2009^{2008}$ al dividir entre 9.