Intermedio

Problemas de nivel estatal y similares.
Problema

Cuadrados

Hallar el mínimo k>2 para el cual existen k numeros enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado

 
Problema

Imposibilidad de nueve rectángulos

 

Una cuadrícula de $6\times6$ se va a recortar en rectángulos siguiendo las líneas de la cuadrícula. Muestra que no es posible hacer una división de la cuadrícula en 9 rectángulos diferentes.
 

 
Problema

Área de pentágono

 

Por los vértices D y A del cuadrado ABCD de lado 5 se trazan, respectivamente, los segmentos paralelos DE y AF hacia afuera del cuadrado, de tal manera DE mide 4 y es perpendicular a EF. Encuentra el área del pentágono ABCEF.
 

 
Problema

Ecuación de suma de fracciones

 

Si $a$ y $b$ son enteros distintos entre sí y diferentes de cero que cumplen $\frac{a-2010}{b}+\frac{b+2010}{a}=2$ ¿cuál es el valor de $a-b$?
 
 
Problema

Demostrar perpendicular

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo y $M$ el punto medio de la hipotenusa $BC$. Sus catetos cumplen que $CA$ es menor que $AB$. Se coloca un punto $D$ sobre $AB$ de manera que $CA = AD$. Finalmente, sea $E$ el punto común de $AM$ y $CD$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ tal que $EF$ es paralela a BC $AC$, demostrar que $AM$ es perpendicular a $FD$.

 
Problema

Tangentes a circunferencia desde el centro de otra

 

Considere las circunferencias $a$ y $b$ de centros $A$ y $B$ respectivamente. Desde el centro $A$ se trazan las tangentes a $b$ y éstas cortan a $a$ en los puntos $P$ y $Q$. Desde el centro $B$ se trazan las tangentes a $a$ que cortan a $b$ en $R$ y $S$. Demostrar que $PQRS$ es un rectángulo.
 

 
Problema

Número igual a la suma del factorial de sus dígitos

 

Encontrar todos los números de 3 dígitos de la forma $abc$ ($a$ es el dígito de las centenas, $b$ es el dígito de las decenas y $c$ es el dígito de las unidades) que cumplan con: $abc = a!+b!+c!.$ (Nota: n! es el producto n(n-1)...(2)(1) y se lee $n$ factorial.)
 

 
Problema

Sumas de productos de filas y columnas en un tablero

 

En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
 

 
Problema

Elección condicionada de 3

¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto $C=\{1,2,3,...,19,20\}$ de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?

 
Problema

Semáforos en la Avenida Salsipuedes