Teoría de números

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Combinaciones lineales, mcd y coprimos.

Una de las primeras propiedades que se presentan cuando aprendemos divisibilidad es la siguiente: 

Si $d$ es divisor de $a$ y $b$, entonces $ d | ax + by$ para cualesquiera enteros $x,y$.

A menos que se diga lo contrario, supondremos que estamos usando enteros mayores a cero. La propiedad citada lo que nos dice es que, si $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ entonces $d$ es divisor de cualquier combinación lineal de ellos. Hemos hablado de dos conceptos muy importantes de los que se profundizará más.

 
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Actividad de Verano para Preselección Tamaulipas 2016 (Jornada 1)

El día de hoy comenzamos con las actividades para la preparación de la Preselección Tamaulipas 2016 en el receso de verano.

Para esto diseñamos un juego al estilo de las Ligas Fantásticas deportivas que hay para varios deportes. Adjunto el archivo con las reglas del juego.

Cada semana serán equipos distintos, y podríamos ajustar algunas reglas para hacer más interesante la actividad. Semana a semana se irá actualizando el ranking de la puntuación obtenida por cada alumno.

 
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Prepárate para el Estatal con MaTeTaM (Números)

Para mejorar el desempeño de los competidores tamaulipecos en el Estatal, hemos decidido hacer una serie de posts compartiendo lo necesario para competir el 1 de julio. Esta primera entrada va orientada a aritmética o teoría de números, los temas necesarios son:

Sistema Decimal.  Este tipo de problemas son ateoricos pues no se necesita saber mucho, son casi de lógica con un poco de combinatoria. No por eso son los más sencillos. Para participar en la olimpiada no necesitas saber más que los demás, si no saber usar lo que sabes.

 
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La dificultad de un problema depende del resolutor

En el presente post voy a presentar la solución de un problema de números que se me hizo realmente difícil y no lo pude resolver sin ayuda. Trato también de trasmitir a los lectores de MaTeTaM el modo de razonar de un experto en el problem solving de concurso. El problema es el siguiente:


Demostrar que, para todo entero no negativo k, $$2^{2^{6k+2}}+3$$ es múltiplo de 19.

Demostración (reconstruida a partir de una realizada por JRV en conversación telefónica con el que esto escribe)

 
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Sobre el problema 3 del selectivo final

Voy a presentar en este post la solución al problema 3 del selectivo final para la preselección Tamaulipas OMM 2014. Añado una solución alternativa con un algoritmo para resolver la ecuación de Pell. (De paso, con esta solución alternativa, puede verse el poder del procedimiento --sin entrar en detalles de por qué funciona.)
 

El problema y la solución de Germán

La solución de Germán procede mediante inferencias de divisibilidad. En ese sentido es una solución muy básica.
 
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Primos y divisibilidad: dos problemas

Voy a comentar en este post las soluciones de los problemas 1 y 2 del primer selectivo para la preselección OMM Tamaulipas 2014. Espero que sirva como feedback para los preseleccionados que no los resolvieron o los resolvieron de otra forma. (Vaya una felicitación para Camilo por su excelente elección de los problemas.)

Problema 1. Sean m,n enteros positivos tales que $m^2+n^2$ es múltiplo de 3. Pruebe que m y n son también múltiplos de 3.

Comentario:

 
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El "fácil" de la XXVII OMM 2013

Como se sabe el fácil del concurso nacional 2013 de la XXVII OMM resultó una sorpresa (por su grado de dificultad) para la mayoría de los concursantes.

En palabras de Germán Puga (el favorito de la selección Tamaulipas) "el problema uno era uno de esos de 'cómo demuestro algo tan fácil' "

Creo que la valoración de Germán es una valoración muy acertada del problema 1 del XXVII concurso nacional de la OMM 2013. Voy enseguida a comentar sobre ese problema para tratar de ubicar cuáles son los puntos o aspectos que lo hacen difícil.

 
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El fácil del concurso XV OMM (2001)

Con motivo del comentario-solución de Germán Puga Castillo al problema 1 del concurso nacional de la OMM 2001 (y el feedback de Jesús Rodríguez Viorato), el problema llamó mi atención por su aparente simplicidad. Voy a comentarlo en este post (y a resolverlo apoyándome en la idea de Germán). El problema es el siguiente:

Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7, y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.

 
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Cuatro problemas elementales de aritmética

En los entrenamientos de la selección ONMAS Tamaulipas 2013 me tocaron 2 sesiones de 3 horas cada una. De ahí elegí 4 problemas de aritmética para presentarlos en este post, en el cual voy a resolverlos y a comentarlos.

A pesar de ser elementales, están lejos de ser triviales. Digo, considerando que fueron para alumnos de primaria y secundaria. (Para el alumno promedio muy probablemente cada uno de ellos es un proyecto de investigación.)

 
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Los sistemas de numeración y los números binarios

Los sistemas de numeración son símbolos y reglas para denotar cantidades  Muchas civilizaciones inventaron los suyos, por ejemplo, los romanos usaron la notación I, II, III, IV, .. etcétera.

En nuestros tiempos, el sistema de numeración que usamos cotidianamente se llama sistema de numeración posicional en base 10 (o simplemente sistema decimal).  Es decimal pues se usan diez símbolos (a saber  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y depende de la posición pues no es lo mismo 12 (uno dos) que 21 (dos uno).