Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se dice que es convexa si el conjunto de puntos por encima de la gráfica de $f$ es convexo, esto es, si el conjunto $$G= \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} | f(x) \leq y \}$$ es un conjunto convexo. Otra forma equivalente de decir esto es, una función $f$ es convexa si satisface que $$f[tx+(1-t)y]\leq tf(x)+(1-t)f(y)$$ para todo $x,y \in \mathbb{R}$ y $t \in [0,1]$.
En particular, cuando $f$ es continua la condición de convexidad se puede reducir a que
| $$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$$ |
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A las funciones que satisfacen la ecuación anterior (1), pero que no necesariamente son continuas, se les llama funciones punto medio convexas.
Ver también:
Desigualdad de Jensen