GBC-Teorema (de la altura)

Enviado por jmd el 5 de Junio de 2009 - 06:07.
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Toda semicuerda perpendicular a un diámetro es media proporcional entre los segmentos en que aquélla divide a éste. (La altura del vértice opuesto a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos determinados en la hipotenusa por el pie de la altura.) Con referencia a la figura, el resultado es: $BC'/C'C=CC'/C'A$

Demostración(es)
Demostración: 

Sea $AB$ el diámetro y $ C $ un punto sobre la circunferencia. Entonces el ángulo $BCA$ es recto (por ser inscrito en una semicircunferencia). Si $ C' $ es la proyección de $ C $ sobre el diámetro $AB$, entonces $CC'$ es la semicuerda perpendicular al diámetro (pues el diámetro perpendicular a la cuerda es su mediatriz).

Entonces, por potencia de un punto, $(CC')^2=(AC')(C'B).$  Es decir, $AC'/C'C=CC'/C'B.$

(El aprendiz haría bien en demostrarlo utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos de la configuración, y también en recordar que la potencia de un punto es semejanza de triángulos "enlatada". )

Ver también: 
Potencia de un punto (respecto a una circunferencia)
Ver también: 
Semejanza (en geometría)
Ver también: 
Media proporcional
Ver también: 
GBC-Teorema
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