La XXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas se está realizando en la ciudad de San Luis Potosí, a partir de hoy 14 de noviembre de 2011. A continuación los problemas del primer día (las gracias le sean dadas a Orlando Ochoa Castillo por habermelos enviado).
25 OMM. Concurso Nacional. Día 1
Problema 1. Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Únicamente se permite aplicar cualesquiera de las siguientes dos operaciones:
- Tomar dos vértices sobre la circunferencia de tal manera que haya una candidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices y el del foco del centro de la circunferencia.
- Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices y el del foco del centro de la circunferencia.
Muestra que, partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible aplicar un número finito de operaciones para llegar a la configuración en la que todos los focos están encendidos.
Problema 2. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $c$. Sea $l$ la recta tangente a $c$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Problema 3. Sea $n\geq3$. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2,\ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de n ecuaciones:
\begin{eqnarray}
a_1^2 + a_1- 1 &= a_2\\
a_2^2 + a_2 - 1 &= a_3\\
\vdots & \vdots\\
a_{n-1}^2 + a_{n-1}- 1 &= a_n\\
a_n^2 + a_n - 1 &= a_1
\end{eqnarray}
Los saluda
jmd
PD: Atacho el archivo de los problemas que me envió Orlando.
| Adjunto | Descripción | Tamaño | |
|---|---|---|---|
 | nacionaldia1.pdf | Problemas del primer día del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2011 | 105.96 KB |
| XXV_OMM_dia1.pdf | Problemas del primer día (hoja oficial, tomada de OMMfacebook) | 214.47 KB |
El uno y dos me parecieron
El uno y dos me parecieron bastantes sencillos. El uno tiene una redacción enredosa, pero el problema es bastante sencillo, sin embargo creo que muchos podrían espantarse con la explicación, enredarse y ni si quiera intentarlo, o intentarlo mal.
El problema 3, a menos que exista una solución ingeniosa me parece bastante latoso. Y su dificultad es considerablemente mayor con respecto a los otros dos problemas, en esto creo que salió algo des-balanceado el examen.
Pero bueno, esa es mi primera impresión. De conocer varias soluciones podría cambiar de opinión.
Saludos
El 3 tiene una solución
El 3 tiene una solución relativamente "sencilla", o sea no tantas cuenta, aunque necesita un truco. El 1 francamente me dió flojera, no lo intenté y el 2 está bastante accesible.
Gracias Lalo, voy a buscar
Gracias Lalo, voy a buscar una solución "sencilla" a ver si la encuentro. La mía, no me gustó, puro análisis de casos y ver para donde se vuelan o se acercan las iteraciones de $f(x) = x^2 + x -1$. Yaaak!!
La solución del 1 no es para nada de flojera, es bastante sencilla, a ver si te animas a intentarlo.
Saludos
Si eso que propones está de
Si eso que propones está de flojera, ya intente el 1, está bonito y sencillo, para el 3 aunque no lo parezca una MG-MA ayuda a dar con las soluciones,
Ahh!! Ya veo, está padre la
Ahh!! Ya veo, está padre la idea de usar MG-MA, ya me salió con ese método. Es mucho más simple, entonces me retracto de mi opinión sobre que el examen está des-balanceado. Ahora me parece bastante balanceado.
Bueno, pero para ver si lo estoy usando igual que tu, la idea es usar el inverso de la desigualdad MG-MA, es decir, que la igualdad se da cuando todos los términos son iguales. ¿No es así?
Saludos y gracias por tus comentarios
hola, me encontré el examen
hola, me encontré el examen en esta página. igual el 3 lo resolví analizando f(x), pero otra cosa que no se si simplifique mucho es completar el cuadrado en todos los lados izquierdos, y resultan ecuaciones del tipo b_i^2 = b_{i+1} + 3/4, con b_i = a_i + 1/2, que se ve más sencillo que como está originalmente escrito el problema.
Hola Ricardo: Pues fíjate que
Hola Ricardo:
Pues fíjate que yo también empecé por ahí, nada más que después de un rato la dejé pues no le encontré muchas ventajas.
La transformación que finalmente usé fue la de sustituir por $b_i = a_i+1$, dando por resultado la relación $b_i^2-b_i = b_{i+1}$. Y la única ventaja de esta, es que no tiene sumandos constantes.
Gracias por compartirnos tu opinión.
El truco para resolverlo es
El truco para resolverlo es darse cuenta de dos cosas
1) que $\sum\limits_{i=1}^{n} a_i ^2 = n$
2) $a_1 + 1 = (a_1 \cdot a_2\cdots a_n) (a_1 + 1)$
La primera relación resulta de sumar todas las ecuaciones, y la segunda sigue de darse cuenta que $a_{i+1} + 1 = a_i ^2 + a_i$ para i=1,...,n (tomando $a_{n+1}= a_1$).
Luego ver que $a_1 = -1$ implica que $a_i =-1$ para toda i. si $a_1\neq -1$ entonces el producto de las $a_i$ es 1.
Luego usas MG-MA de la sig manera
$1= (\sum\limits_{i=1}^n a_i^2) /n \geq (a_1^2 \cdots a_n ^2) ^{(1/n)} = 1$, como la igualdad se tiene, entonces $a_i ^2 = 1$ para toda i, en particular $a_1 = 1$, y de ahi $a_i=1$ para toda i y son las únicas dos soluciones. Creo que esta solución es "sencilla", el único truco que creo no es tan obvio de utilizar es meter la MG - MA, lo demás sale de jugar con las ecuaciones.
Para los que tienen
Para los que tienen curiosidad de saber como es la solución fea por intervalos les dejo este link http://ommch.blogspot.com/2011/12/solucion-por-intervalos-del-problema-3.html