Selectivo final (OMM_Tam_2014)

Versión para impresión

1. Los números del 1 al 28 se acomodan al azar en una cuadrícula de $4\times7$ (4 filas y 7 columnas, un número en cada cuadrito). A continuación se consideran los productos $P_1$ de todos los números en la primera fila, $P_2$ el de todos los números en la segunda fila y, de la misma manera, se obtienen $P_3$ y $P_4$. Demuestra que alguno de estos cuatro productos es múltiplo de 128.

2. Sea K un punto sobre el arco AB del circuncírculo del triángulo isósceles $ABC$ (con AB=BC). Demuestra que $$AK\cdot{KC}=AB^2-KC^2$$

3. Encuentra el menor entero positivo $n\gt1$ tal que el promedio de $1^2,2^2,3^2,\ldots,n^2$ es un cuadrado perfecto.

Soluciones y comentarios después.

Los saluda

jmd




Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

Para el uno, veamos primero

Para el uno, veamos primero que 128=2^7. Entonces realmente solo nos importarán los factores 2 de los números del 1 al 28, y en sí, solo de los pares del 2 al 28, que son 14, de los cuales 7 tienen factores 2 sencillos (2,6,10,14,18,22 y 26), 4 tienen factores 2^2 (4,12, 20 y 28), 2 tienen factor 2^3 (8 y 24) y uno tiene factor 2^4 (16). El producto de todos los factores 2 es ((2)^7) ((2^2)^4) ((2^3)^2) (2^4)= 2^25. Por el principio de las casillas, al tener que repartir 25 factores 2 (25=4(6)+1) en 4 filas, en al menos una fila el producto será al menos 2^7=128, con lo cual siempre el producto en al menos una fila es múltiplo de 128.

Imagen de jmd

Hola Alain. Gracias por tu

Hola Alain. Gracias por tu colaboración y porque al fin te decidiste a participar en MaTeTaM. Y, bueno, te comento que este problema me sorprendió y no lo pude resolver en el rato que estuve ahí con ustedes el domingo --después de pedirle a su entrenador una copia del examen.

Fácilmente se puede sospechar que se aplican las casillas (pichoneras). Pero el problema es que los factores 2 van agrupados con el número (8 tiene 3 factores 2, por ejemplo). Y esto dificulta el argumento pues no puedes considerar que hay pichones que siempre se van a dormir juntos a las pichoneras (las filas).

Y, bueno, hay que decir que el principio de las pichoneras es una forma folklórica de redactar un teorema matemático y, en ese sentido, solamente tiene un valor de guía para el razonamiento. 

Creo haber encontrado un argumento que diluye la dificultad mencionada. Es como sigue:

Considerando que ya están colocados los 28 números en las filas se tendría

$$(2F+1)2^{25}=P=P_1\cdot{P_2}\cdot{P_3}\cdot{P_4}$$

$$=(2F_1+1)2^{x_1}\cdot(2F_2+1)2^{x_2}\cdot(2F_3+1)2^{x_3}\cdot(2F_4+1)2^{x_4}$$

Si ahora consideramos, por contradicción, que todas las $x_i$ son menores que 7 se logra la contradicción. (Pues el exponente del 2 del lado derecho sería a lo más 4(6)=24).

Me gustaría que hubiera más comentarios sobre este problema porque sí es de casillas pero en una forma no estándar.

Te saluda

Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

Ah ya veo, si, de hecho había

Ah ya veo, si, de hecho había sentido algo así en el exámen, de que algo más debía haber, pues si había notado esa pequeña dificultad de que los factores 2 ya vienen con el número. Parece ser que en este problema muchos creyeron resolverlo pero quizás pocos lo hayan hecho bien, ya veremos en muy poco tiempo el juicio de Orlando, el cual ya esperamos bastante jaja.

Saludos, Alain

Imagen de German Puga

Para el problema dos, una

Para el problema dos, una sugerencia (o varias) seria trazar el circulo de centro en B y radio AB, considerar la potencia de K con respecto a esta nueva circunferencia y recordar que se puede calcular de dos maneras distintas.

Saludos

Germán.

Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

Por cierto, en el problema 2

Por cierto, en el problema 2 la expresión es $AK\cdot{KC}$ = $AB^2 - KB^2$