Noviembre 2012

Noticia

XXVI OMM --los problemas del segundo día

Enviado por jmd el 13 de Noviembre de 2012 - 14:20.

Problema 4. A cada entero positivo se le aplica el siguiente proceso: al número se le resta la suma de sus dígitos, y el resultado se divide entre 9. Por ejemplo, el resultado del proceso aplicado al 938 es 102, ya que (938-(9+3+8))/9=102. Aplicando dos veces el proceso a 938 se llega a 11, aplicado 3 veces se llega al 1. Cuando a un entero positivo $n$ se le aplica el proceso una o varias veces, se termina en 0. Al número al que se llega antes de llegar al 0, lo llamamos la casa de $n$. ¿Cuántos números menores que 26000 tienen la misma casa que 2012?

Noticia

XXVI OMM --los problemas del primer día

Enviado por jmd el 12 de Noviembre de 2012 - 12:22.

Problema 1. Sean $C_1$ una circunferencia con centro $O$, $P$ un punto sobre ella y $l$ la recta tangente a $C_1$ en $P$. Considera un punto $Q$ sobre $l$, distinto de $P$, y sea $C_2$ la circunferencia que pasa por $O, P$ y $Q$. El segmento $OQ$ intersecta a $C_1$ en $S$ y la recta $PS$ intersecta a $C_2$ en un punto $R$ distinto de $P$. Si $r_1$ y $r_2$ son las longitudes de los radios de $C_1$ y $C_2$, respectivamente. Muestra que $PS/SR=r_1/r_2$.