Inspirado por la solución de Luis Germán al Problema 7 (Ciudades, OMM_Tam_2010) [1] decidí escribir este post. En su solución, Luis Germán usa un resultado conocido pero que pocos se dan cuenta de su importancia. Este resultado, aunque elemental, permite atajar muchísimo la solución a algunos problemas. Con este resultado, Germán pudo calcular el área del triángulo en cuestión sin tener que calcular todos sus lados.
El resultado conocido
Relación entre áreas y razón de semejanza. Si el triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' y la razón de semejanza es $r$, entonces la razón entre sus áreas es $r^2$. Más precisamente, se tiene que:
$$\textrm{Si } \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k \textrm{ entonces } \frac{\acute{A}rea(ABC)}{\acute{A}rea(A'B'C')}=k^2$$
Es posible probar este resultado usando sólo el hecho de que el área de un triángulo es "base por altura sobre dos", pero es más fácil si usamos que el área es "la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo comprendido entre ellos", en fórmula: $$\acute{A}rea(ABC) = \frac{AB\cdot AC \cdot sen(\alpha)}{2} \qquad \acute{A}rea(A'B'C') = \frac{A'B'\cdot A'C' \cdot sen(\alpha)}{2}$$ Donde $\alpha$ es el ángulo en el vértice A; que es igual al ángulo en el vértice A', por la semejanza. De éstas igualdades es fácil terminar, sólo dividimos y ya:
$$\frac{\acute{A}rea(ABC)}{\acute{A}rea(A'B'C')} = \frac{\frac{AB\cdot AC \cdot sen(\alpha)}{2}}{\frac{A'B'\cdot A'C' \cdot sen(\alpha)}{2}} = \frac{AB\cdot AC}{A'B'\cdot A'C'} = \frac{AB}{A'B'}\cdot\frac{AC}{A'C'}=k\cdot k = k^2$$
Lo que hizo Luis Germán
Justamente en los últimos pasos de la demostración de Luis Germán, él calculó el cociente $CM/CN = (0.5\sqrt{5})/(0.5)=\sqrt{5}$, por lo que, la razón de semejanza entre $CBM$ y $CON$ resulta $k=\sqrt{5}$. Y, por la relación entre la Razón de áreas y la de semejanza, se tiene que: $$\frac{\acute{A}rea(CBM)}{\acute{A}rea(CON)}=r^2=5.$$
De ésta última identidad se observa que basta calcular el área de CBM y ya queda el problema. Pero el área de CBM es más fácil de calcular pues ya son conocidos sus lados.
Otro uso pero al revés
No es muy difícil reusar la técnica empleada por Luis Germán para resolver una variedad de problemas del tipo: encontrar el área de una figura, conociendo que otras son semejantes.
Pero también podemos resolver problemas en la otra dirección, donde las áreas son dadas y las medidas son las buscadas. Por ejemplo:
El triángulo rectángulo ABC, de la siguiente figura, está dividido en dos triángulos rectángulos de áreas 40 y 10 respectivamente, ¿cuáles son las medidas del triángulo ABC?
Para resolver este problema, primero hay que notar que los triángulos ADC y CDB son semejantes. Entonces, podemos usar la relación aprendida:
$$\Big(\frac{AC}{CB}\Big)^2=\frac{\acute{A}rea(ADC)}{\acute{A}rea(CDB)}=\frac{40}{10}=4$$
En consecuencia,$AC/CB=2$. Además, $(AC \cdot CB)/2 = \acute{A}rea(ABC) = 50$. De estas dos identidades ya es posible encontrar las medidas de $AC$ y $CB$; $AC=10 \sqrt{2}$ y $CB=5\sqrt{2}$. Luego, por Pitágoras, $AB = 5 \sqrt{10}$
Si no conociéramos la relación entre las áreas y la razón de semejanza, nos costaría más trabajo resolver el problema. Exploren otras posibilidades y verán que cualquier otra requiere de más trabajo.
Conclusiones
Como vimos, esta relación es útil. Y requiere de práctica reconocer cuándo usarla, pero es importante tenerla en cuenta cuando se quieran abordar problemas de este tipo.
Por otro lado, me gustaría compartiles la siguiente observación a todos los olímpicos nuevos.
Tal vez muchos de ustedes han escuchado que para la olimpiada sólo se requiera genialidad, y en parte es cierto, pero también se requiere estudiar.
Para ser un buen olímpico es necesario aprender este tipo de resultados y muchos otros. Pues, como vieron, el no saber un resultado como este implica tener que esforzarse más en el examen, pues tendrán que suplir esa carencia con algo de genialidad. Conforme vayan escalando posiciones en la olimpiada, incrementa muchísimo la cantidad de teoremas que deben saber. Y, de no sabérselos, no les va alcanzar la genialidad para suplir tantas carencias.
En resumen, se necesita genialidad y estudio. Así que, pongan mucha atención a todo lo que se le enseñe, todo es valioso, aunque no lo noten al principio.
Saludos
Estimados, en "otro uso pero
Estimado amigo la respuesta
es la razon de las areas de 2
es la razon de las areas de 2 poligonos semejsntes cuya razon de semejanza es de 2/5