Introducción
En algebra se estudian expresiones algebraicas como la siguiente: $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{8}{2x+y}$. Pospongamos la cuestión de su significado y comentemos su uso (y su sintaxis).
De una ecuación se puede pedir simplificarla, es decir, transformarla a una ecuación algebraicamente equivalente mediante operaciones válidas, y que tenga la forma más simple posible. Sin embargo no se acostumbra pedir obtener sus soluciones cuando se trata de una sola ecuación en dos variables. Pero es posible: si x=n entonces y=? Esta podría haber sido una pregunta más fácil de digerir para los adolescentes en el concurso estatal cuando intentaron resolver el problema de algebra. Se pidió encontrar todas las parejas de números enteros (x,y) que verificaran la ecuación.
La pregunta de simplificación se resuelve relativamente fácil: primero se quitan los denominadores y se continua hasta llegar a una ecuación lo más simple posible: $(2x+y)^2=8xy$ logra el objetivo de quitar denominadores. ¿Y luego? Bueno, pues hay que desarrollar el binomio y agrupar términos semejantes: $4x^2+y^2-4xy=0$. ¿Es esto lo más simple? No. Hay que ver ahí el trinomio cuadrado perfecto y ponerlo en la forma de binomio cuadrado: $(2x-y)^2=0$. ¿Y ya? Bueno, pues ya casi porque esa expresión equivale a $y=2x$.
Si ahora se pidiera el conjunto de soluciones enteras, la respuesta es casi obvia: si x=n entonces y=2n. Por tanto, las soluciones son las parejas de números (x,y)=(n,2n) con n entero. Pero falta un detalle, una sutileza: n debe ser distinto de cero (para que la expresión original tenga un sentido, pues la división entre cero no está definida).
Pero "ver" todo eso (interpretar, hacer inferencias, operar de manera válida) es resultado de un entrenamiento, en el cual se aprendieron unas reglas. ("Voy manejando por la ciudad, el semáforo se pone en rojo... veo el color rojo de la luz, pero también enfreno... la interpreto como una orden... ¿por qué me comporto de esa manera? ¡échale coco compadre!")
Comentarios sobre el aprendizaje del álgebra como lenguaje
¿Cómo puede interpretarse la expresión $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{8}{2x+y}$? Bueno, eso depende de la perspectiva que se adopte:
1)la suma del inverso de x más el doble del inverso de y es igual a 8 veces el inverso de 2x+y (perspectiva del proceso computacional);
2)el número que resulte en el lado izquierdo es el mismo número que resulta en el lado derecho, dados un par de números x, y (perspectiva del output computacional);
3)las variables x, y están ligadas por la ecuación: para un valor de x, resulta un valor de y (perspectiva funcional, variacional);
4)la ecuación es una cadena de símbolos en la sintaxis del álgebra, puede ser manipulada y transformada de acuerdo a ciertas reglas válidas dentro de esa sintaxis (perspectiva algebraica abstracta)
La perspectiva del proceso es la usual en las matemáticas escolares, y es de hecho un verdadero obstáculo (epistemológico, en el sentido de Guy Brousseau) para simplificar y resolver ecuaciones: los signos + y / se "ven" como un comando (sumar y dividir, respectivamente): pero ¿cómo ejecutarlos si los números están ausentes? Por esa razón, las perspectivas más útiles son las tres últimas. Pero tienen que ser aprendidas en la práctica. Y estamos en la paradoja de que lo que ya sabes te ayuda a aprender más pero también es un obstáculo para lograrlo.
Las literales x, y (así se les llama en algebra) en una ecuación son nombres (signos) con un significado muy general: representan cantidades no especificadas ligadas por la ecuación. En este sentido, se puede decir que tienen un significado inicial vacío. El significado de las literales algebraicas se construye en el proceso de usarlas, manipularlas, de acuerdo a las reglas del algebra.
Una situación parecida se da en el lenguaje natural: el niño aprende a decir "coca" ¿tiene en ese momento un significado definido para la palabra? Con el tiempo y el uso del lenguaje uno aprende a detectar anomalías en la construcción de oraciones ("lobo el comió se caperucita a"). Y ello de manera casi independiente de su significado.
Estamos en la paradoja de aprender lo que todavía no entendemos: para aprenderlo necesitamos asignarle un significado, pero le asignamos significado solamente si lo aprendemos. Quienes aborrecen las paradojas (de manera natural o aprendida) encuentran esta situación insostenible dentro de la educación, dentro de la didáctica. No entienden que el significado siempre será opaco. Adoptando una pose ahora de moda dicen: "tú me dices que 2+2=4, pero tienes que explicarme por qué" El aprendizaje (y la enseñanza) se detiene ante esta exigencia. ("Buscar el origen es cognitivamente productivo pero... si no sabes que 2+2=4... pues yo realmente lo siento...")
El aprendizaje del algebra (como el de cualquier lenguaje) requiere tiempo, y la promesa de que hay un método que lo minimiza conduce al aprendiz a posponer el aprendizaje hasta no encontrar al Salvador que se lo explique de manera transparente -- porque el conocimiento lo quiere ahora y para pronto. Y estamos ante otra paradoja: nunca lo aprende porque está a la espera del método indoloro e instantáneo, el cual es solamente una promesa --y lo más seguro es que mantendrá ese status para siempre. ("Mejor dedícate al Feng Shui, compadre.")
Los saluda
jmd