Es bien conocido dentro de la educación matemática que, en sus orígenes, el álgebra no usaba símbolos sino que el problem solving se describía totalmente utilizando el lenguaje natural. A esta etapa del álgebra se le llama fase retórica (antes de Diofanto). Después vendría la fase sincopada o lacónica, la cual se habría dado entre Diofanto y Vieta y, finalmente, llegaría la fase simbólica que inicia con Vieta. (Se dice que fue un alemán del siglo XIX quien primero identificó y nombró las tres fases del desarrollo del álgebra.)
Álgebra retórica y ley de Haeckel
Y si aceptamos la ley de Haeckel (o la ley Spencer), adquiere fuerza la intuición que uno --como profesor-- tiene sobre el problem solving en álgebra: en la resolución de problemas algebraicos (pero sobre todo en problemas razonados) el cognizador utiliza los tres modos históricos de razonar algebraicamente.
Pasa del modo retórico (por ejemplo, del enunciado) al modo sincopado (por ejemplo esquematizando, elaborando ayudas visuales y nombrando con palabras abreviadas los elementos del problema) y, en problemas difíciles, es casi obligatoria la simbolización (la modelación simbólica del problema en ecuaciones).
Y desde un punto de vista didáctico o de aprendizaje autodidáctica, parece ser conveniente iniciar experimentando con objetos reales o figurados (quizá de ahí proviene el éxito de los diagramas y el razonamiento diagramático), para después hacer la conexión de esos objetos con los símbolos matemáticos. Es decir, de lo real a lo diagramático y después a lo simbólico. (Por lo menos eso es lo que creen muchos educadores --y yo lo suscribo.)
El problema y su solución retórica
A continuación reproduzco una solución retórica al problema 9 del concurso ciudades que me fue comunicada por una colaboradora de MaTeTaM (las gracias le sean dadas):
Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10 litros de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los 4/5 del agua contenida en B, y éste se llenaría si se añadiesen los 3/4 del agua contenida en A. Calcular el agua contenida en cada vaso y su capacidad.
Solución retórica:
1) Al trasvasar de un vaso a otro, éste se llena; y lo que queda en el primero, es el complemento a 10 litros.
Comentario jmd: Aquí hay que estar bien conectado con la situación problémica descrita en el enunciado. Es decir, el cognizador debe poder imaginar el trasvase como si él mismo lo estuviera haciendo. De esta manera la afirmación sería obvia para él.
2) Y esto se cumple sin importar de cuál a cuál se trasvase (pues los dos vasos tienen la misma capacidad).
Comentario jmd: De nuevo, se recomienda al lector imaginar la operación de trasvase y tener en cuenta los datos del enunciado.
3) De aquí que 1/4 de lo que tiene A es lo mismo que 1/5 de lo que tiene B. (Pues es lo que quedaría en cada uno después del trasvase al otro.)
Comentario jmd: De aquí en adelante, le dejo al lector como ejercicio que elebore él mismo el comentario (si así lo desea).
4) Pero, como entre los dos tienen 10 litros, entonces las quintas partes de lo que tienen suman 2.
5) De aquí que 1/5 de lo que hay en A más 1/4 de ese mismo contenido tiene que ser 2 litros. (Porque ese 1/4 es equivalente a 1/5 del contenido de B, como ya habíamos quedado.)
6) Y 1/4+1/5 suman 9/20. Por tanto 9/20 de lo que hay en A equivale a 2 litros.
7) Pero entonces 20/9 de 2 litros es lo que hay en A.
8) Y, como se sabe, 20/9 de 2 son tantos litros como 40/9.
9) De aquí que en B tiene que haber tantos litros como el complemento a 10, es decir, 50/9.
(Fin de la solución retórica.)
Espero que con esta solución retórica --extremadamente ingeniosa, hay que decirlo-- el lector se dé cuenta de la utilidad de la simbolización. Por ejemplo, a partir del paso 3 se podría seguir con una solución simbólica: x/4=y/5 y resolver con el dato x+y=10. (Lo cual es mucho más fácil de resolver --eso creo.)
La utilidad de la simbolización
Y si el lector recibe adecuadamente este ejemplo, aceptará también que la simbolización algebraica permite economizar recursos cognitivos. Y una vez reconocido este hecho, posiblemente también aceptaría que la simbolización permite el estudio general de los problemas.
Porque la resolución de problemas algebraicos requiere de un razonamiento basado en modelos, de los cuales el más básico es la simbolización de las cantidades involucradas. Para reforzar mi tesis les presento aquí la Proposición 1, libro II de los Elementos de Euclides:
Si se dan dos segmentos, y se divide uno de ellos en cierto número de partes, el rectángulo formado por los dos segmentos es equivalente a la suma de los rectángulos compuestos por el segmento indiviso con cada una de las partes del otro.
Euclides utiliza el lenguaje natural (acompañado de figuras geométricas) para representar una propiedad algebraica. Entendiendo por rectángulo el producto de dos cantidades (es decir, su área), la proposición de Euclides es la regla distributiva: $(a+b+c)d=ad+bd+cd.$ El lector debería juzgar cuál de las dos formas de enunciar la regla distributiva le hace más sentido.
Los saluda
jmd
PD: Como se sabe, en la biología molecular y la genética, existe la hipótesis que dice que la ontogenesis repite la filogénesis (Ley de Haeckel). Y si esa hipótesis se cumpliera, entonces el desarrollo cognitivo (ontogénesis cognitiva) del niño repite el desarrollo cognitivo de la humanidad.
Si aceptamos esa hipótesis, decía, entonces sería importante conocer la evolución histórica del lenguaje para echar luz sobre el aprendizaje del idioma de los niños y la historia de las matemáticas para echar luz sobre el aprendizaje de las matemáticas.