La dialéctica es un método de razonamiento que se basa en la contradicción: cada afirmación (tesis) tiene una antítesis que la contradice; y del enfrentamiento entre ambas surge una síntesis que elimina la contradicción (y la síntesis se convierte en la nueva tesis que encontrará su antítesis, etc.)
Como método de razonamiento, el objetivo de la dialéctica es la resolución del desacuerdo. En la dialéctica socrática, la tesis inicial (suposición o hipótesis) es analizada en el diálogo, y llevada a una antítesis (una contradicción) --con lo cual la tesis se exhibe como insostenible y se tiene que buscar la síntesis. La dialéctica socrática es, en cierto modo y ya formalizada, el método de reducción al absurdo usado en las matemáticas como técnica de demostración.
En la filosofía medieval, la dialéctica se formuló en cinco pasos: la cuestión o tema a discutir, las objeciones posibles asociadas, la defensa de la cuestión, la ponderación de la evidencia a favor y la formulación del resultado, y las réplicas a cada una de las objeciones. Esta versión de la dialéctica está orientada a la composición de discursos.
En el uso contemporáneo se habla de dialéctica cuando hay una tensión entre dos polos aparentemente opuestos o contradictorios (tesis y antítesis) y que, sin embargo, es posible conciliarlos (pueden lograr la síntesis) e incluso pueden llegar a complementarse. Una forma de retener en la memoria el significado de dialéctica es pensar en la imagen de la lucha de contrarios o de enemigos mortales (tesis y antítesis se pueden ver como enemigas mortales), y que el resultado de su enfrentamiento es la síntesis. La dialéctica se puede pensar como una lucha, una agonística entre dos fuerzas o conceptos.
Hacer y comprender
En la educación matemática, la dialéctica objetivo de este post es la que se da entre el hacer y el comprender, entre el uso de procedimientos y la comprensión de los conceptos que les subyacen. El hacer es pragmático, busca un resultado, busca la eficacia, se interesa por el cómo. Por otro lado, el comprender es epistémico, busca el conocimiento, busca los porqués.
En la enseñanza tradicional de las matemáticas había muchos algoritmos que había que saber usar: dividir un número entre otro y continuar más allá del punto decimal (la división larga), la raíz cuadrada de un número, la fórmula general de la ecuación cuadrática, etc. Algunos de ellos han desaparecido de las aulas escolares debido quizá a la presión sobre los profesores para que todos pasen (la tasa de reprobación es un indicador --para la SEP-- del desempeño de una escuela --es innecesario decir que ha tenido efectos perversos).
Pero en la década de 1980 con la recomendación de las reformas de desenfatizar los cálculos con papel y lápiz en las aulas escolares, algunos algoritmos ya no se enseñan --ni bueno ni malo, es simplemente un resultado de la educación para todos. Porque desenfatizar significó para muchos profesores y administradores escolares eliminar. (Puesto que se recomendaba desenfatizar la memorización, las tablas de multiplicar ya no se enseñaron por algunos años, hasta que se vio que era una memorización necesaria.)
En estos últimos años, con la llegada de los exámenes estandarizados de ENLACE, CENEVAL, y PISA, se están volteanado las tornas en cuanto a la laxitud con que se ha llevado la educación mexicana en las últimas décadas. Ahora se ponen exámenes pre-enlace, se prepara a los escuelantes para contestar preguntas de opción múltiple tipo ENLACE y CENEVAL. Pero sin idea --porque la solución no es regresar a la memorización ciega.
Recordar, por ejemplo, la ley de los senos es obligatorio para resolver algunos reactivos de ENLACE, pero también hay que comprender ciertos conceptos asociados a ella --para saber cuándo aplicarla. El efecto que han tenido los exámenes estandarizados en las escuelas es la confusión total: nadie sabe cómo se debería jugar ese juego.
¿Quienes son los buenos?
La clasificación de las cosas en dos categorías irreconciliables es una tendencia de la mente humana: lo bueno y lo malo, lo blanco y lo negro, si no estás conmigo estás contra mí, comunistas y capitalistas, de izquierda o de derecha,... (Los residuos de una cognición infantil que nunca evolucionó.) Y en la educación matemática: lápiz y papel o calculadora, aprendizaje memorístico o aprendizaje significativo, procedimientos o conceptos,...
En lo que respecta a la falsa oposición procedimental o conceptual, la reforma del bachillerato ya entendió que son dos aspectos complementarios del aprendizaje de las matemáticas. Ello se puede interpretar de los tres tipos de competencias manejadas: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Pero queda el sedimento de los años pasados en que el constructivismo ingenuo y comodino era dominante (y sigue dominando aunque ya un tanto desprestigiado).
La cuestión de la falsa dicotomía entre procedimientos y conceptos se puede plantear en una pregunta pragmática: ¿Qué tanto hay que comprender para actuar; qué tanto hay que actuar para comprender? (Una frase atribuida a John von Neuman dice: "en matemáticas tú no entiendes las cosas; te acostumbras a usarlas.")
O bien, la disolución de la dicotomía se puede plantear como una regla de uso (de las matemáticas): cuando uses las matemáticas, no olvides las herramientas (que has logrado acumular); cuando uses las herramientas, no olvides las matemáticas (que les subyacen).
El algoritmo de Euclides
Para finalizar este discurso que ya se hizo muy filosófico, quisiera ilustrar la dialéctica entre el procedimiento y los conceptos que le subyacen, con uno de los algoritmos más antiguos y famosos: el euclidiano.
Como se sabe, el algoritmo de Euclides calcula de manera iterativa el máximo común divisor de dos enteros $a$ y $b$ --$MCD(a,b)$. La parte conceptual (teoría) del algoritmo de Euclides es el principio básico: si $d$ es divisor común de $a$ y $b$ entonces $d$ es divisor común de $a-b$ y $b$ (y de $a+b$ y $b$). Este principio (de hecho es un teorema fácilmente demostrable) no es fácil de asimilar para el aprendiz. Por ello conviene presentarlo con ejemplos. (Recomiendo al cibernauta ver el artículo de la Wikipedia [1] de donde tomo el siguiente ejemplo.)
Denotando al máximo común divisor de $a$ y $b$ con $MCD(a,b)$, calculemos el de 252 y 105:
$$MCD(252,105)=MCD(147,105)=MCD(42,105)=MCD(42,63)=MCD(42,21),$$ de donde ya es claro el resultado. Aunque se podría continuar con $$MCD(21,21)=MCD(0,21).$$ El criterio de stop es cuando uno de los números se hace cero.
Una vez presentado así, y asignando los ejercicios que sean necesarios para que el aprendiz llegue a dominar la técnica, se puede pasar a generalizar el principio (institucionalización): $d$ es el $MCD(a,b)$ si y sólo si $d$ es el $MCD(ax+by,b).$ Y quizá resolver el mismo ejercicio para mostrar que el cálculo de $MCD(a,b)$ es más eficiente aplicando este principio extendido. $$MCD(252,105)=MCD(42,105)=MCD(42,21)=MCD(0,21).$$
La tesis que deseo subrayar aquí es que el algoritmo y los principios teóricos que lo apoyan entran en una especie de alternancia al momento en que se están aprendiendo. La teoría puede surgir del algoritmo vía los ejemplos y de los ejemplos puede surgir el algoritmo y, mediante los intentos de justificación, puede surgir la teoría.
Por otro lado, no se trata de inventar el algoritmo pues es parte de la tradición matemática y es un legado cultural de nuestros antepasados. Pero desde un punto de vista didáctico, el aprendiz debe reinventarlo, al mismo tiempo que descubre los principios, por lo menos en parte.
Los saluda
jmd
PD: las demostraciones de los principios no deberían ser demasiado rigurosas, solamente tanto como el aprendiz pueda soportar... (no es por sentimentalismo didáctico, es por una razón pragmática...)