B: Ah…Mmhh… Creo que esa sí me la sé. Es base por altura. ¿Cierto?
A: ¿Pero si no te dan la altura?
B: Bueno, pues ¿qué te dan?
A: Te dan las longitudes de los lados.
B: Bueno, entonces saco la altura con el seno del ángulo ¿te dan un ángulo?
A: No.
B: Ah pues deja ver…Creo que se puede eliminar el seno utilizando la ley de cosenos… eso lo hice una vez cuando estudié la secundaria… Deja ver si me sale…
$2(ABC) = ah = absenC$ ¿OK?
A: Con $(ABC)$ estás denotando el área del triángulo $ABC$ ¿no es así?
B: Claro. Es la forma usual de denotarla.
A: Entonces, ya con $2(ABC) = ah = absenC$, eliminas $senC$ con la ley de cosenos: $c^2 = a^2 + b^2 – 2abcosC$.
B: Muy bien. Ahora déjame decirte que este problema no es elemental, porque tienes que conocer la identidad $sen^2 + cos^2 =1$. Así que el seno es la raíz cuadrada de $1 – cos^2C$ ¿cierto?
A: Cierto. ¿Y luego?
B: Bueno, pues luego ya te queda la fórmula del área en términos de los lados del triángulo. Te queda una raíz cuadrada ¿qué tiene? (Mmhh… creo que eso lo aprendí en un curso de trigonometría en la prepa.)
A: ¿Me estás presumiendo? ¿Estudiaste en China?
B: ¿No te la crees verdad? La verdad es que lo estudié por mi cuenta. Fue en un curso de investigación documental y el profe me dio chance de investigar la fórmula de Herón y problemas afines. Me acuerdo que se tiene que hacer mucha álgebra y el riesgo de equivocarte es más o menos grande. Pero en principio así obtendría el área de un triángulo dados únicamente la longitud de sus lados. Ahora deja preguntarte esto:
B: ¿Sabes cómo se expresa la condición para que tres longitudes $a, b, c$ formen un triángulo?
A: Ah. ¡Pues claro que sí! Es la desigualdad del triángulo. ¿Sí o no?
B: Sí. Pero quiero verla aquí en el pizarrón. ¿La puedes expresar verbalmente?
A: Uh. Pues deja me acuerdo. Porque, a veces uno se acuerda primero de la etiqueta y el contenido queda oculto… Sí! Ya está! La suma de cualesquiera dos lados debe ser mayor que el tercero. ¿Cierto?
B: OK. Ahora expresa eso en términos del perímetro $p = a + b + c$.
A: Y eso ¿para qué?
B: Ahorita lo vas a ver.
A: OK. La condición sería que el perímetro menos un lado debe ser mayor que ese lado: $p – a > a, p – b > b, p – c > c$. Ah ya sé lo que quieres: quieres enseñarme por qué en la fórmula de Heron aparece el semiperímetro s = p/2. ¿Cierto?
B: Cierto. Porque si en la condición que acabas de expresar correctamente pones $2s$ en vez de $ p $, esa condición se simplifica a $s-a>0, s-b>0, s-c>0$. Bueno, pero esa estuvo muy fácil, pues sólo tuviste que recordar. Vamos a ver si puedes con ésta:
B: ¿Cómo calcularías el inradio r de un triángulo conociendo solamente los lados?
A: No me quieras impresionar. Ya sé que el inradio es el radio del incírculo, es decir, del círculo inscrito en el triángulo. El centro del incírculo es la intersección de las bisectrices.
B: OK. Qué bueno que te acuerdes de tu entrenamiento de Olimpiada de Matemáticas. Pero, ahora contesta a mi pregunta.
A: Ah. Pues creo que eso no lo vimos en el entrenamiento pero debe ser fácil. Porque una cosa que sí recuerdo es que el radio (el inradio) al punto de tangencia es perpendicular al lado. Y eso ya me da la altura de un triángulo. ¡Claro! Ya lo vi: si llamamos (ABC) al área del triángulo, entonces $2(ABC) = ar + br + cr$, y despejas $ r $. ¿Qué te parece?
B: Muy bien. Y simplificando se obtiene $(ABC)=rs$.
A: Entonces el inradio se calcula dividiendo el área entre el semiperímetro. Pero deja te pregunto ésta que es de dificultad comparable:
A: ¿Cómo calculas el circunradio $ R $ de un triángulo conociendo únicamente los lados?
B: ¿Se puede eso? Deja pensarle… OK. El circunradio es el radio del circuncírculo y este se define como el círculo circunscrito. El circuncentro es la intersección de las mediatrices. Eso sí lo sé pero… ¿Alguna pista?
A: ¿Te sabes la ley generalizada de los senos?
B: Ah. Claro. Eso involucra al circunradio R. Es $a/senA =2R$. Y para demostrarla tienes que ver al triángulo inscrito en su circuncírculo y después usas la definición de ángulo en términos del arco interceptado y ya puedes cambiar a un triángulo rectángulo.
A: Veo que aprendiste bien las lecciones.
B: Ya me acuerdo que antes te había dicho cómo obtener $(ABC)$ si sabemos un ángulo:
$2(ABC) = absenC$. Ahora involucro el circunradio $ R $ con la ley de senos: $c/senC = 2R$. Uh pues estaba muy fácil: ($ABC) = abc/4R$.
A: Hagamos un resumen:
$s=(a+b+c)/2$…………………………………..Semiperímetro
$c^2=a^2+b^2-2abcosC$………………………Ley de cosenos
$(ABC)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$ ……………………Fórmula de Herón
$(ABC)=sr$………………………………………….r = inradio
$a/senA=b/senB=c/senC=2R$…………………….Ley generalizada de senos
$(ABC)=abc/4R$…………………………………….R = circunradio
B: Y mostremos los detalles de las sustituciones y operaciones para obtener la fórmula de Herón:
$2(ABC)=absenC$
$[2(ABC)]^2=(ab)^2[1-(a^2+b^2-c^2)^2/(2ab)^2]^2$
$[2(ABC)]^2=(ab/2ab)^2[(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2]^2$
$[4(ABC)]^2=[(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)]^2$
$[4(ABC)]^2=[-(a-b)^2+c^2]^2[(a+b)^2-c^2]^2$
$[4(ABC)]^2=[(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)]^2$
$[4(ABC)]^2=[(2s-a-a)(2s-b-b)(2s-c-c)(2s)]^2$
$[4(ABC)]^2=[2(s-a)2(s-b)2(s-c)2s]^2$
$(ABC)^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$
A: La última y nos vamos: ¿cuál es el triángulo de mayor área dado su perímetro?
B: A ver si entendí: $2s$ es fijo y tengo que escoger los lados $a, b, c$ para que el triángulo sea de área maxima. ¿Es así?
A: Así es.
B: Bueno, creo que no está tan fácil, porque son tres variables. O, mejor dicho, son 2: porque eligiendo dos de los lados, el tercero queda obligado a completar el perímetro. ¿Alguna pista?
A: ¿Sabes desigualdades?
B: Ah. Claro. La desigualdad de las medias. Deja ver si me acuerdo. Ya: la geométrica es menor que la aritmética, a menos que los números sean todos iguales, en cuyo caso se da la igualdad.
A: Muy bien dicho.
B: Ah. Pues en ese caso primero veo la suma $s-a+s-b+s-c$. Esa suma es $ s $. ¿Cierto?
A: Claro, porque $s-a+s-b+s-c=3s-2s=s$. ¿Y luego?
B: Bueno, en este caso son tres números y tengo que meter la raíz cúbica de su producto… Pero bueno… mejor primero elevo al cuadrado para eliminar la raíz de la fórmula de Herón. Quedaría así:
$(ABC)^2/s=(s-a)(s-b)(s-c),$ y esto no excede de $(s/3)^3$
Y la igualdad se daría si y sólo si $s-a=a-b=s-c$. Es decir, cuando y sólo cuando $a=b=c$ (un equilátero). Ya está. ¿Cuál era la pregunta?
A: Efectivamente ya está respondida: el triángulo de mayor área dado su perímetro es el equilátero.
B: Bueno, ahora yo te pregunto: ¿Cuál es esa área en términos de $ s $?
A: Ah, pues sólo faltaría sustituir: $(ABC)^2/s=(s/3)^3$. Es decir, $(ABC)=s^2/(3sqrt(3)).$
B: Bueno, ahora sí ya vámonos que aquí espantan…
