Ahora que la reforma al bachillerato (RIEMS) y la de secundaria (RIES) están recomendando desarrollar las competencias asociadas a la modelación matemática en los adolescentes, puede que no sea irrelevante ilustrar con un ejemplo a qué se refieren con modelación o matematización de situaciones cotidianas. (El problema es clásico.)
Una escalera colocada en un piso pulido y recargada sobre una pared se desliza sobre el piso y la pared hasta llegar a su posición horizontal. Un gato en el punto medio de la escalera se mantiene ahí durante el deslizamiento. Decir (con prueba) qué curva describe el gato al deslizarse la escalera.
¿Qué tenemos aquí? Se trata de un problema razonado de geometría. Vamos a aprovechar este problema para discutir una o dos cosas sobre el proceso de modelación en resolución de problemas. El problema es interesante e ideal para el propósito de este post porque a partir de una descripción verbal de una situación cotidiana se debe llegar a una descripción matemática del deslizamiento (de la posición del gato durante el deslizamiento).
¿Por dónde empezar? Lo primero que hay que hacer es deshacernos del lenguaje verbal o mejor dicho traducirlo a lenguaje matemático, matematizar la situación. Si el cognizador ya está en la secundaria y conoce el plano cartesiano (y ha hecho todas las tareas), se le tiene que ocurrir que la pared y el piso forman un ángulo recto, y que eso se puede representar con en el plano cartesiano, es decir, con los ejes de coordenadas.
Es la primera traducción a lenguaje matemático de la situación descrita. La siguiente abstracción es la posición del gato en la escalera: la escalera se puede rerpesentar como un segmento de longitud $d$, y el gato como un punto en ese segmento. ¿Qué punto? El dato está un poco escondido en el enunciado pero después de pensarle un poco se puede encontrar: el gato está en el punto medio de la escalera. Es decir, en el punto medio del segmento.
Hasta aquí ya se logró representar el problema en un momento del tiempo. (Si se le piensa otro rato, la escalera en la pared se puede representar como un triángulo rectángulo con el punto medio señalado en la hipotenusa.) Con esto ya se tiene un modelo geométrico de la situación descrita en el enunciado --congelada en un cierto momento del deslizamiento.
Ahora hay que pensar en que la escalera se está moviendo. ¿Cómo podemos hacer para representar este hecho? Bueno, pues pensando en que, para cada momento del deslizamiento, la escalera forma un cierto ángulo con el piso (el eje x) hasta llegar a la posición horizontal (ángulo cero). (Aquí es conveniente pensar en las dos posiciones extremas: la escalera totalmente pegada a la pared y la escalera en posición horizontal).
¿Y ahora? Ya tengo un modelo geométrico del problema. ¿Qué sigue? Si es emprendedor, el cognizador debería empezar a experimentar con diferentes posiciones de la escalera y construir una gráfica aproximada en el plano cartesiano de la curva que posiblemente describe el gato. Una vez que ya hizo los cálculos para unas 4 o 5 ángulos o posiciones de la escalera, podría llegar a "ver" la curva (la longitud $d$ de la escalera puede ser cualquiera). Con ello lograría un modelo gráfico de la posición del gato en cada momento del deslizamiento. (Para cada posición, habría que medir con la regla las coordenadas del punto medio de la escalera.)
Notemos que el problema no está al alcance de cualquiera. Es necesario saber usar el plano cartesiano. Pero también hay que saber algunas propiedades de los triángulos rectángulos si se quiere aportar una demostración formal. Y esto solamente lo podría lograr un adolescente que tiene entrenamiento en problemas de olimpiada: el teorema de la mediana a la hipotenusa [1] seguramente no lo saben ni los profes de geometría de bachillerato --lo siento, sé que no debería decirlo de manera tan brutal.
Ejercicio: con esa sugerencia, demostrar que el gato se mueve sobre una circunferencia.
Digamos para finalizar que el teorema de la mediana a la hipotenusa lo aprende el adolescente en entrenamiento de olimpiada por aculturación. Es decir, ya inmerso en el ambiente de resolución de problemas de concurso, no va a faltar algún compañero que sí lo sabe y se lo enseñe o se lo enuncie (y le diga: "no te puedo creer que no te lo sepas, es lo primero que se aprende de geometría..." ) (Y ese ambiente de aprendizaje de las matemáticas no se encuentra en las aulas.)
Los saluda
jmd