Una vez superada la cuesta de enero encontré este problema de geometría en la Web el cual comparto con los lectores de MaTeTaM. Doy la solución vectorial y varias sugerencias para soluciones sintéticas. (La idea es recomendar a los cognizadores preparándose para concursos de matemáticas escolares a no abandonar un problema después de obtener una solución. Buscar otras soluciones los hará más sabios en el arte del problem solving.)
El problema y su solución vectorial
ABCD es un cuadrilátero con AB=CD. Los puntos medios de AD y BC son E y F, respectivamente. Las prolongaciones de BA y FE se intersecan en H y las de FE y DC lo hacen en G. Demostrar que los ángulos BHF y FGC son iguales.
Solución vectorial
Ésta es una buena oportunidad para usar vectores. Pues los ángulos que se pretenden iguales son los del vértice $H$ del triángulo $HBF$ y del vértice $G$ del triángulo $GFC$. Pero también son los ángulos formados por los pares de vectores $\vec{AB}$ y $\vec{EF}$, y $\vec{EF}$ y $\vec{DC}$.
Esta observación complementada con el dato de que $AB=DC$ sugiere que podría ser útil aplicar el producto interior de los vectores que forman esos ángulos usando la fórmula $\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}||\vec{y}|cos\theta$.
Empecemos expresando el vector $\vec{EF}$ de dos formas como suma (recorriendo los cuadriláteros de que es lado):
$$\vec{EF}=\vec{EA}+\vec{AB}+\vec{BF}=\frac{\vec{DA}+\vec{BC}}{2}+\vec{AB}$$
$$\vec{EF}=\vec{ED}+\vec{DC}+\vec{CF}=\frac{\vec{AD}+\vec{CB}}{2}+\vec{DC}$$
Sumando las dos ecuaciones y aplicando el hecho de que $\vec{XY}=-\vec{YX}$ se tiene que
$$2\vec{EF}=\vec{AB}+\vec{DC}$$
Para usar el dato de las longitudes iguales de los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero usamos el truco de la diferencia de cuadrados como producto punto:
$$(\vec{AB}+\vec{DC})\cdot(\vec{AB}-\vec{DC})=|\vec{AB}|^2-|\vec{DC}|^2=0$$
De aquí que
$$0=\vec{EF}\cdot(\vec{AB}-\vec{DC})=\vec{EF}\cdot\vec{AB}-\vec{EF}\cdot\vec{DC}$$
Es decir,
$$\vec{EF}\cdot\vec{AB}=\vec{EF}\cdot\vec{DC}$$
Así que usando la definición algebraica del producto punto se obtiene:
$$|\vec{EF}||\vec{AB}|cos\angle{AHE}=|\vec{EF}||\vec{DC}|cos\angle{EGD}$$
De ahí el resultado. (Pues después de las cancelaciones, los cosenos de ambos ángulos son iguales.)
Sugerencias para soluciones sintéticas
Solución elemental sugerida por (la necesidad de usar) los puntos medios
Solución más sofisticada pero con la idea de usar los puntos medios
Otra solución con trazo auxiliar no tan obvio
Solución con trazo de paralelas
Los saluda
jmd