En el campo de la investigación de la educación matemática, Anna Sfard llama reificación al "acto de creación de entidades abstractas adecuadas." Sfard ve el acto de reificación como el paso de una forma procedimental de ver un tema en matemáticas a otra forma que ella llama estructural.
Por ejemplo, en el álgebra escolar, al pasar de ver las expresiones algebraicas como procesos (forma operativa heredada del aprendizaje de la aritmética escolar) a verlas como objetos, dentro de una estructura algebraica. Ver mi post sobre teorías de encapsulación [1].
En este significado que Sfard le atribuye al término reificación se mantiene el significado etimológico de "convertir en objeto-cosa", solamente que el objeto construido --en el sentido de Sfard-- es abstracto. En este sentido, la reificación de Sfard anda a la greña con el significado etimológico de reificar [2]: convertir (en la mente) una abstracción en un objeto concreto (considerar el concepto abstracto como si fuese algo concreto o físicamente existente).
Dice Sfard: "...(la) reificación es, de hecho, el nacimiento de una metáfora que da a luz (bring into existence) un objeto matemático y, en consecuencia, profundiza nuestra comprensión." Y añade: "Las restricciones que impone, a nuestra imaginación, nuestro conocimiento perceptualmente adquirido hacen que la reificación sea inherentemente difícil."
Lo anterior lo tomo de uno de sus ensayos más citados, y se llama precisamente "La reificación como el nacimiento de una metáfora". En él, Sfard elabora un argumento --con aroma femeninamente filosófico- a favor de su teoría, a partir de varias entrevistas que ella hizo a matemáticos famosos.
Destaca en ese ensayo su impecable estilo de escritura (por algo es especialista en discurso) y el hecho de que deja en un segundo plano sus pretensiones de cientificidad --algo inusual en el campo de la investigación en matemática educativa. (Un ejemplo típico: para un ensayo de 8 cuartillas presentado en el congreso X, añaden dos cuartillas más de bibliografía).
Sfard cierra el ensayo de la siguiente manera (nótese que su pretensión de validez no es científica sino más bien expresivamente esperanzadora):
Nuestra conclusión de todo lo que ha sido dicho aquí es que podemos educar nuestra imaginación y ampliar el universo matemático soltando las ataduras perceptuales una a una (loosening perceptual constraints bit by bit), y pavimentando gradualmente el camino que va de lo mundano a lo "nunca oido" con una elaborada cadena de metáforas cada vez más abstractas. Cada capa (layer) en el edificio jerárquico de las ideas matemáticas es un nuevo paso en nuestra lucha por liberarnos de las ataduras corporales --y para una mejor comprensión del mundo de la abstracción.
(Mi traducción.) El ensayo en pdf y en inglés se puede descargar aquí [3].
Para aclarar la distinción entre conocimiento procedimental (u operativo) y conocimiento estructural (o conceptual), en el aprendizaje de las matemáticas, permítaseme ejemplificar con algún recuerdo que tengo de mis tiempos de estudiante de ingeniería en Tampico.
En ese tiempo uno se aprendía fórmulas y las aplicaba, pero la verdad no teníamos una comprensión clara de lo que estabamos haciendo. Por ejemplo, uno aprendía la ecuación de la recta (en geometría analítica) en sus diversas variantes (punto y pendiente, dos puntos, etc.). Tengo un vago recuerdo de la explicación del profesor sobre el punto genérico y cómo derivaba de ahí las fórmulas (bueno, la verdad no me acuerdo muy bien pero estoy seguro que sí lo explicó).
Pero, como todo mundo sabe, en ese tiempo juvenil uno trae recargada la agenda con otras preocupaciones. Y domina una mentalidad o enfoque operativo estudiantil que es "clásico" en la realidad dura del aula. Y ese enfoque se ha acentuado en los últimos tiempos.
Aunque ahora, como profesor, desearíamos que nuestros estudiantes universitarios ya se hubiesen apropiado del razonamiento conceptual --"ya no se acuerda mi cura de cuando era sacristán". Bueno, digo que el enfoque operativo se ha acentuado, porque en mis tiempos de estudiante uno se aprendía las fórmulas y se las arreglaba para aplicarlas en el momento del examen (el acordeón siempre estaba disponible por si acaso...)
Pero ahora... el profesor debe hacerse a la idea de que sus estudiantes ni siquiera han llegado al razonamiento operativo --ni bueno ni malo, es sólo un hecho de la vida educativa. (Un caso extremo de esa presión estudiantil sobre los profesores y quizá ya establecida como tradición en la enseñanza secundaria queda representado de manera tristemente paradigmática por "las tres fórmulas de la velocidad": $v=d/t, d=vt, t=d/v.$ Un absurdo, pero una cosa es la teoría y ¡vámonos a la práctica real del aula!)
Pero regresemos a la geometría analítica y el razonamiento operativo: Cuando uno como estudiante se aprendía la forma $y=mx+b$ y el profe ponía un ejercicio, uno esperaba ver la $m$ y la $b$ como datos. Pero si el profe decía "a ver Juan pásale al pizarron y explica a tus compañeros como obtienes la ecuación de la recta que tiene pendiente 2/5 y pasa por el punto (0,-1)", entonces la forma $y=mx+b$ no era traída a presencia. Uno evocaba más bien la fórmula de punto y pendiente $y-y_1=m(x-x_1).$
¿Por qué? Bueno porque para ver la forma pendiente-intersección $y=mx+b$ como la adecuada para esos datos se necesita pensarle un poco (se necesita tener una comprensión del significado de la $b$). En cambio con la de punto y pendiente uno se puede poner en automático y resolver el problema sin pensarle casi nada. Y uno no se preocupaba por hacer las conexiones que pudieran unificar las diversas formas de obtener la ecuación de la recta. Estaba uno atrapado en el razonamiento procedimental.
Y si el estudiante llega a darse cuenta alguna vez que el razonamiento procedimental (el cual es eficaz y no hay que despreciarlo) tiene serias limitaciones si no se acompaña con el conocimiento estructural o conceptual; si uno llega a darse cuenta decía, es cuando ya dejó uno de ser estudiante profesional (en el peor sentido del adjetivo profesional). (Y entonces decide abrir un sitio web de matemáticas para remediar aquellos aprendizajes matemáticos que uno quisera haber hecho de otra forma.)
Una moraleja que se puede extraer de la tendencia estudiantil a razonar de manera procedimental u operativa es que esa tendencia tiene una influencia en los modos de enseñar (al igual que los modos de enseñar tienen una influencia en la persistencia de ese tipo de razonamiento en los estudientes --¿Qué fue primero...?)
Y quizá la razón principal de su persistencia en las matemáticas escolares sea que tanto al profesor como a los alumnos les resulta más barato (en términos de gasto de energía cerebral) mantener el enfoque operativo. Porque la adquisición del conocimiento conceptual cuesta... (el que quiera azul celeste...).
Digamos, para finalizar, que ambos tipos de razonamiento son complementarios. Pero si solamente se tiene el procedimental... Bueno, lo ejemplifico con las tres fórmulas de la velocidad: si solamente se tiene el razonamiento procedimental, son tres fórmulas que hay que memorizar; en cambio, si ya lograste pasar al razonamiento conceptual, solamente es una la que tienes que retener en la memoria. Y entonces tu memoria se descarga en un 67% --claramente el dato no es estadístico-- y es mucho más probable que el procedimiento adecuado sea traído a presencia y usado con eficacia en el problem solving.
Es en este sentido (de complementariedad) que se puede decir que la teoría de la reificación de Sfard enfatiza la dualidad de los dos tipos de razonamiento, en vez de verlos como dicotómicos (tienes uno o tienes el otro) como lo hacen muchos otros investigadores de la educación matemática.
Anna Sfard sostiene que los dos tipos de razonamiento son necesarios en la comprensión del significado de los conceptos matemáticos. Y que el paso de ver un proceso como un objeto es gradual y evolutivo.
Permítaseme agregar unas palabras más: cuando uno está atrapado en el razonamiento procedimental (operativo), no puede ver que las diversas ecuaciones de la recta son una y la misma cosa.
Si te dan dos puntos usas ésta, si te dan punto y pendiente usas esta otra, si te dan la pendiente y la ordenada al origen esta tercera,... y uno se tenía que aprender 5 o más fórmulas para la recta (al igual que el adolescente se aprende $v=d/t, d=vt, t=d/v$ --bueno, no estoy muy seguro de que realmente se las aprenda).
Pero en cierto momento se da uno cuenta de que todas esas formas de representar la ecuación de la recta son la misma cosa: todas se pueden llevar (transformar) a una representación canónica. En ese momento todos aquellos procesos de buscar cuál fórmula aplicar se condensan en uno solo (condensación es otro de los conceptos clave de la teoría de la reificación de Sfard); la ecuación de la recta se puede ver ahora como un objeto matemático (ha ocurrido la reificación de los procedimientos desconectados uno del otro). Y, como dice Sfard, la reificación --usualmente-- ocurre "como un desplazamiento repentino" (sudden shift).
Los saluda
jmd