Hablando en general, la solución de un problema de geometría exige cierta creatividad. Ésta, con frecuencia, consiste en ver el problema de otra forma. Por ejemplo, ampliando el contexto mediante un trazo auxiliar.
Se trata del fenómeno del framing [1] el cual he abordado en otros posts en MaTeTaM. Framing se traduce como encuadre o enmarcamiento, como cuando se le pone el marco a una fotografía o pintura. Así pues, la creatividad, con frecuencia, consiste en poner al problema en un marco adecuado.
En estos días estuve explorando MaTeTaM con la idea de editar los textos, mejorar los teasers, pero sobre todo para mejorar su redacción o su ortografía, etc.
Y me detuve un rato en el problema 4 del concurso ciudades [2] 2010 que puso Germán: le puse otra figura (espero que mejor), leí los comentarios, etc. Y reflexionando sobre la solución de Germán me pregunté
¿Cómo es que algunos aficionados al problem solving pueden ver la solución creativa y otros no?
Mi respuesta es que quienes la pueden ver es porque pusieron al problema en un marco adecuado. Todos los demás, o bien no le buscaron marco alguno o bien, si lo buscaron, no encontraron el adecuado... y su esfuerzo por ser creativos se malogró.
Del problema 4 de ciudades 2010 (y de lo arriba dicho) se puede generar la siguiente moraleja:
Más acá de la creatividad está la búsqueda de un marco adecuado para el problema.
Si bien la creatividad es una cualidad deseable en un cognizador, y puede ser aprendida (y acaso enseñada), en algunas ocasiones no hay tiempo para ser creativos (como en un examen de concurso) y es casi obligatorio aplicar las técnicas.
Es por eso que posiblemente sea mejor aprender a ser creativo en el laboratorio hogareño o en la biblioteca, mediante la resolución de problemas y analizando las soluciones cretivas de otros --y en los concursos aplicar las técnicas que ya han probado su efectividad en la práctica. Un ejemplo es la trigonometría.
Con trigonometría te puedes olvidar de la creatividad (si es que sabes trigonometría...).
(No debería darse ningún crédito a los abogados de las soluciones creativas y detractores, a la vez, de las soluciones ingenieriles, bajo el argumento de que estas últimas son "muy feas" --una fealdad que sería producto de aplicar herramientas "groseras". Se olvidan de que esas groseras herramientas han sido desarrolladas a lo largo de la historia de las matemáticas y su eficacia ha sido probada en la práctica infinidad de veces. En todo caso, la solución vale 7 puntos, independientemente de su grado de creatividad.)
El problema 4 del concurso ciudades Tamaulipas 2010 es el siguiente: con referencia a la cuadrícula de la figura calcular la medida del ángulo CBA.
La solución creativa consiste en darse cuenta que, al trazar el segmento $AC$, el triángulo $ABC$ es isósceles rectángulo en A, y la respuesta se sigue.
Notemos que el marco adecuado se logra al trazar el segmento $AC$ y ver un triángulo dibujado en una cuadrícula. Y, en ese marco, es fácil de ver el isósceles rectángulo.
Parecería que no hay diferencia en la figura con marco y la figura sin marco. Pero quien haya intentado la solución en el concurso ciudades --es decir, bajo la presión del tiempo-- suscribiría mi afirmación de que el marco es iluminador. Pues el trazo auxiliar sugiere el plan de demostrar isósceles rectángulo --dado que en la figura se "aparece" un triángulo que parece isósceles rectángulo.
¿Y si no se te ocurre el marco adecuado? Bueno, con trigonometría no es necesario ningún marco adicional al dado en el enunciado y la figura: el ángulo buscado es la suma de dos ángulos, y las tangentes de éstos son directamente calculables de la figura.
Llamando $x$ al ángulo que forma AB con la horizontal por B y $y$ al que forma esa horizontal con $BC$ se tiene:
$\tan x=1/2$
$\tan y=1/3$
$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{1/2+1/3}{1-1/6}=1$
Por tanto, $x+y=45$
Digamos, para finalizar, que no hay argumento convincente para justificar una ignorancia trigonométrica. Por lo menos no para el aficionado a las matemáticas de concurso.
En el caso del problema en cuestión, la única fórmula difícil de mantener en la memoria es la de la tangente de la suma de ángulos. Pero para ello algún truco mnemónico es fácilmente generable.
Los saluda
jmd
Este post me dejó pensando,
Este post me dejó pensando, sobre todo la parte donde se habla de los "abogados de las soluciones creativas". Pienso que uno de esos abogados fue el que impuso, en la olimpiada mexicana de matemáticas, la regla que penaliza fuertemente a la gente que intenta demostrar cosas con pura geometría analítica.
Hace un par de años que no voy a la Olimpiada Nacional de Matemáticas, pero me parece que esta regla aun sigue vigente,
Yo creo que esta regla carece de sentido y debería eliminarse por completo de las Olimpiadas de Matemáticas (si es que no se ha hecho aún). Pues en las olimpiadas internacionales la geometría analítica, el cálculo de límites, vectores y demás métodos "sucios" son muy usados e incluso se dan puntos parciales a soluciones que emplean dichos métodos.
Bueno, no sé que opinen actualmente los demás olímpicos y los actuales organizadores, entrenadores y toda la gente alrededor del evento. Pero hace algunos años era algo incuestionable.
Saludos
Estoy de acuerdo con la idea
Estoy de acuerdo con la idea en general del post, es sólo un pequeño comentario a la frase :
Bueno... como buen fan de las, así conocidas, soluciones no creativas, en el problema que muestras de ejemplo, no veo cómo la solución por trigonometría deja de ser creativa.
A sabiendas que podría equivocarme, la mayoría de los alumnos en grado de preparatoria, a partir del tercer semestre, ya tienen ideas básicas del concepto de pendiente o ángulo de inclinación de una recta. La fórmula de la suma de tangentes, es la misma que les dan en la escuela cuando quieren encontrar el ángulo entre dos rectas y, sin embargo, no veo cómo a estas personas se les pudiera ocurrir una solución por ese camino.
Es argumentable, no saben trigonometría, o no están familiarizados con la herramienta. Pero tampoco veo cómo uno puede concluir, no requiere ingenio el sólo hecho de pensar "quizás salga con trigonometría". Claro, el título post dice "a veces". Bueno, creo que en muchas ocasiones intentar una solución por trigonometría, requiere de bastante creatividad.
Creo que la llamada falta de creatividad en la solución, debiera ser interpretada como fealdad de la solución. Dicha fealdad radica en la cantidad de cuentas que un individuo tiene que hacer para poder llevar a término el problema. Estamos acostumbrados a pensar, las soluciones sin cuentas son bonitas y elegantes, y rechazamos el resto de las soluciones y las descartamos como carentes de ingenio. Lo que argumento es, el ingenio y creatividad están presentes, el problema radica en la cantidad de operaciones que deben ser evaluadas para dar o no los 7 puntos en un problema de olimpiada. Como dice Jesús, si sólo le salió con cuentas, se otorgan 7 o 0 puntos.
Creo que el idear una solución por trigonometría, se está usando la creatividad e ingenio. Un ejemplo de problema enteramente trigonométrico a mi parecer (estoy sesgado por mi gusto a la herramienta), es el siguiente:
En un triángulo acutángulo, el área del triángulo órtico es menor o igual que la cuarta parte del área del triángulo original.
Otro ejemplo de problema trigonométrico: Si r y R son el inradio y el circunradio de un triángulo, se cumple que $ R \geq 2r $.
No porque no salga a primera vista por trigonometría podemos llegar a la conclusión, no sabemos trigonometría. Pero estoy seguro que si vemos la solución por trigonometría, todos pensaríamos "está muy fea". Yo le hallo gusto al pensar, "me salió y sin hacer un solo trazo".
Saludos.
Bueno, creo que es una
Bueno, creo que es una especie de ideología inculcada por los ex-olímpicos y/o entrenadores el hecho de que mucha gente en el medio olímpico crea que sin herramientas sofisticadas la solución es más creativa.
Pero si uno le piensa un rato, debería ser claro que tal creencia no se puede sostener de manera racional. ¿Una especie de nostalgia por las soluciones primitivas estilo boy scout? ¡Pero ni siquiera McGiver podía evitar la técnica (suiza e incorporada a su navaja Victorinox)!
Pues para complementar este
Pues para complementar este post, se me ocurrió hacer la enuesta
¿Crees que puede ser creativa una solucion con puras cuentas? [3]
A ver si hay suficientes votos como para darnos una idea de qué opinan los usuarios de Matetam.
Saludos