Esta construcción es algo complicada para ser creada por los alumnos pero es fácil de realizar. La explicación de por qué funciona requiere conocimientos de cuadriláteros cíclicos [1].
En la siguiente escena interactiva usa los botones ">>" y "<<" para ver paso a paso cómo se construyen las rectas tangentes a una circunferencia (de centro $O$) y que pasan por un punto dado (denotado con $A$).
Como $P$ se encuentra en una circunferencia cuyo diámetro es $AO$, entonces podemos aplicar la propiedad del ángulo inscrito en una semicircunferencia [3] y concluir que el ángulo $\angle OPA$ es recto. Por lo tanto, el radio $OP$ es perpendicular a la recta $PA$ y por consiguiente ésta es una tangente.
El mismo argumento aplica para el punto Q.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/glosario/definicion/cuadrilatero-ciclico-o-inscrito
[2] http://java.sun.com/getjava
[3] https://www.matetam.com/glosario/teorema/gbc-teorema-inscrito-una-semicircunferencia