Los primos no son finitos

Supongamos, con miras a lograr una contradicción, que hay $ n $ de ellos: $p_1,p_2,\ldots,p_n$ --y formemos el número $q=p_1p_2\ldots p_n +1$. Ahora bien, $q$ o es primo o es compuesto. Si fuese primo, ya se logró la contradicción y se concluiría que los primos no son finitos; de otra manera, si $q$ fuese compuesto, sería divisible entre alguno de los $p_i$. Pero si $p_i$ divide a $q$ entonces también divide a $q-p_1p_2\ldots p_n =1$, y de cualquier manera se ha logrado una contradicción.