Subconjuntos sin múltiplos

Para cada uno de los $ n $ impares $ k $ en $A$ podemos construir el siguiente subconjunto de $A: \{k,2k,4k,\ldots\}.$ Si $n=5$ se tendría:

$k=1,\{1,2,4,8\}$

$k=3,\{3,6\}$

$k=5,\{5,10\}$

$k=7,\{7\}$

$k=9,\{9\}$

Los subconjuntos así formados son disjuntos y su unión es $A$ (cada elemento de $A$ pertenece exactamente a uno de los subconjuntos).

Si ahora elijo un subconjunto de más de $ n $ elementos de $A$, por el principio de las pichoneras, habrá dos de ellos en uno de los subconjuntos. Es decir, son de la forma $k\cdot 2^i,k\cdot 2^j$, para algún impar $ k $ de $A$. De ahí el resultado.