El sitio web de la Olimpiada de matemáticas de Nueva Zelanda [1] ofrece problemas mensuales orientados a la preparación olímpica de sus estudiantes. Traduzco el paper de mayo de problemas propuestos (lo pueden consultar en inglés en http://www.nzamt.org.nz/nzimo/wp-content/uploads/2010/05/2010problems-ma... [2])
1. En un paralelogramo $ABCD$, el punto medio $M$ del lado $CD$ está sobre la bisectriz del $\angle{BAD}$. Demostrar que el $\angle{AMB}$ es recto.
2. Sea $a$ un entero positivo. Demostrar que para cada entero positivo $ n $, el número
$$n(2n+1)(3n+1)\ldots(an+1)$$
es divisible entre todos los primos menores que $a$.
3. Los primeros 2010 enteros positivos se escriben en sucesión en algún orden. Después, la sucesión es transformada a otra añadiendo a cada número en la sucesión original su posición en ésta. Demostrar que la nueva sucesión contiene dos números cuya diferencia es divisible entre 2010.
4. Encontrar todas las funciones de los enteros a los enteros que satisfacen las siguientes dos condiciones para todos los enteros $m,n$:
a) $f(n)f(-n)=f(n^2)$
b) $f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn.$
Los saluda
jmd