Coeficientes y raíces en tres cuadráticas

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:18.

2.6. Considere las ecuaciones cuadráticas
\begin{eqnarray}
x^2-b_1x+c_1&=&0\\
x^2-b_2x+c_2&=&0\\
x^2-b_3x+c_3&=&0
\end{eqnarray}
con $b_1.b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ números reales diferentes.
¿Es posible que los números $b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ sean las raíces de las ecuaciones cuadráticas en algún orden?

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Observa que con las condiciones del problema se debe satisfacer que los siguientes dos polinomios son idénticos:
\begin{eqnarray}
(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)\\
(x^2-b_1x+c_1)(x^2-b_2x+c_2)(x^2-b_3x+c_3)\\
\end{eqnarray}
Desarrolla e iguala los coeficientes.
Juega con las identidades obtenidas para contradecir que los números reales $b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ son diferentes.

Álgebra [1]
Intermedio [2]
XIV ONMAPS 2014 [3]