P1. IMO 2014 - Sucesión Inifinita

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:08.

Sea $a_0<a_1< a_2 < \cdots $ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que $$a_n < \frac{a_0+a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Considera la sucesión $$\alpha_n = a_0+a_1 + \cdots + a_n - na_n$$
Demuestra que la sucesión $\alpha_n$ es decreciente y que $\alpha_1 > 0$
Consiera el mayor entero $n$ tal que $\alpha_n > 0$

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