Sistema simétrico y Vieta

Primero observemos la simetría de las ecuaciones. (Ver Fórmulas de Vieta [1] y problemas relacionados).

Consideremos el cambio de variables siguiente (el cual está inspirado en Vieta) : $s=x+y, ~p=xy.$ Entonces el sistema se convierte en: $s^2+s-2p=6, ~s+p=-1.$ (Hay que realizar algunas manipulaciones. Se dejan como ejercicio para el lector.)

¿Qué hemos ganado? ¡Simplicidad! Ahora eliminamos p y se logra una sola ecuación: $s^2+3s-4=0.$ Sus raíces son $s_1=1 y s_2=-4.$

Las p correspondientes son $p_1=-2 y p_2=3$ (los detalles al lector).

Ahora regresamos a las variables originales (tenemos que resolver dos sistemas):

a) Del sistema $x+y=1, ~xy=-2$ resulta $(x,y)=(-1,2)$ --pero también (2,-1) por la simetría.
b) Del sistema $x+y=-4, ~xy=3$ resulta $(x,y)=(-1,-3)$ --pero también (-3,-1) por la simetría.

Las soluciones del sistema original son entonces $(-1,2), (2,-1), (-1,-3),(-3,-1).$