La suma de 18 enteros consecutivos positivos es un cuadrado perfecto. Encontrar el mínimo valor que puede tener esa suma.
La suma de 18 enteros consecutivos positivos es un cuadrado perfecto. Encontrar el mínimo valor que puede tener esa suma.
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bueno pues este lo resolvi a
bueno pues este lo resolvi a teniendo los 18 numeros
x,x+1,x+2,+...+x+17=$k^2$=18x+153 y como las congruencias de los cuadrados mod 4 $1,0$ para impares y pares respectivamente y la suma es impar y es cuadrado por lo que
18x+153=1(mod 4)
18x+152=0(mod 4), pero como 152 es multiplo de 4
18x=0(mod4)
16x+2x=0(mod 4), 2x=0(mod 4)
de aqui que el valor mas pequeño para que sea una posibilidad seria que x=2, haciendo la suma 1+2+3+...+19-1=(19(20)/2)-1=189 que no es cuadradop entonces probamos con x=4 para que tambien cumpla con la congruencia
4+5+6+...+21+1+2+3-1-2-3=(21(22)/2)-6=225)=15^2
y ya creo q: no se si este bien y si no poes me dise prrofe
saludos
Otro modo de resolverlo
Otro modo de resolverlo sería:
$n+(n+1)+...+(n+17) = 18+153=9(2n+17)$. Como 9 es un cuadrado, entonces $2n+17$ también debe serlo. Con un poco de exploración llegamos a que el menor cuadrado es 25. Entonces: $2n+17=5^2$, entonces $n=4$.
La suma es $21*22/2 -(3+2+1) = 15^2$
Me gusta la reducción que
Me gusta la reducción que haces crimeeee. $2n+17$ debe ser un cuadrado y eso reduce significativamente las cuentas para checar los casos $n=$ 1,2,3 y 4.
También me gusta lo que hizo Arbiter-117, usando módulo 4 reduce los casos a sólo $n=2,4$.
De estas dos ideas creo que se puede sacar una prueba aun más corta, usando el módulo 8. Los residuos cuadráticos módulo 8 son 0, 1 y 4. Pero como el módulo es un número par, la paridad debe conservarse en las congruencias. Es decir, como $2n+17$ es impar, su residuo también debe ser impar y por lo tanto tenemos:
$$2n+17 \equiv 1 \pmod{8}$$
De donde se concluye que $2n \equiv 0 \pmod 8$, dividiendo entre 2 obtenermos $n \equiv 0 \pmod{4}$.
Entonces, el primer valor posible (entero positivo) para $n$ es 4 y resulta ser el mínimo.
Nota. Cabe hacer notar que este tipo de reducción de casos no siempre es tan fácil de lograr, generalmente es preferible primero ponerse analizar casos pequeños y si no aparece en ellos, entonces sí invertir tiempo en encontrar una reducción de los casos.
Muy bueno! y de paso sirve
Muy bueno! y de paso sirve para demostrar sólidamente que el menor valor para $n$ es 4