Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/problemas/geometria/xxviii-omm-problema-4
[2] http://www.matetam.com/blog/entradas-jmd/otra-forma-ver-cauchy
[3] https://www.matetam.com/glosario/teorema/desigualdad-util-lema-titu
[4] http://problemsolversparadise.wordpress.com/2012/03/22/titus-lemma/
[5] https://www.matetam.com/print/problemas/algebra/xxviii-omm-problema-5#comment-2955
[6] https://www.matetam.com/problemas/algebra
[7] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
[8] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-mexicana-matematicas/xxviii-omm-2014
Sorprendentemente fácil... si
A dicha variante de
A dicha variante de Cauchy-Schwarz se le conoce como la desigualdad útil [3]. Creo que fue butizada así por José Antonio y Mila en su libro de desigualdades. Pero en otros medios se le conoce como desigualdad de Titu (ver blog de problemsolverparadise [4]).
Gracias Jesús por el dato. La
Gracias Jesús por el dato. La verdad el adjetivo de útil siempre me ha provocado una reacción de rechazo espontaneo. Pero a pesar de que el calificativo de útil es... cómo se diría... totalmente desafortunado y carente de toda creatividad, la verdad es que los diseñadores de problemas de la OMM la han convertido en muuuy útil. Prueba: el problema 3 del nacional 2009 se resolvía también en dos patadas con la útil.
Te saluda
Aplicando directamente la
Perfecto Alain, Tu [5]
Perfecto Alain,
Tu demostración es correcta y tu explicación está clarísima.
Saludos
Por cierto, debería ponerse
Por cierto, debería ponerse el problema como de Álgebra, no?
Saludos, Alain.