Construir un triángulo (dados ortocentro y dos puntos medios)

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:38.

Dados 3 puntos no alineados $M, N, P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

30 Jun 2014

Solución:

Necesitamos ubicar los vértices del triángulo. Si ubicáramos A, la base sería una de las perpendiculares a la altura AP. Claramente podemos ubicar AP --como la perpendicular a MN por P. Faltaría saber dónde exactamente queda A en ella.

Si tuviésemos A, podríamos trazar AM y AN y las perpendiculares a éstas por P y habríamos terminado. Pero ¿cómo ubicamos A en la recta AP? Esa es la cuestión.

La clave: AC (o AB) puede verse como la diagonal de un paralelogramo con punto medio N (M). Así que si construimos la otra diagonal ya estaremos más cerca. La otra diagonal es PR --donde R es el reflejo de P en el punto N.

Si tuviésemos el paralelogramo, éste sería APCR. Pero PC es perpendicular a AB y, por lo tanto, también lo es RA. Pero entonces tendríamos el triángulo MRA rectángulo en A.

Y ésta es la vía hacia la solución. Porque, por el otro teorema de Tales, A está en la circunferencia de diámetro MR.

Así que si construimos el círculo de diámetro MR, éste corta a la recta AP en A. Y con esto ya tenemos ubicado el vértice A. Terminamos.

(Y, bueno, si ese círculo no corta a AP no hay forma de ubicar A.)