Geometría con origami

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 07:19.

Una hoja de papel en forma rectangular $ABCD$ se dobla a lo largo de la línea $PQ$ de manera que el vértice $A$ quede en el lugar del punto $A’$ y el vértice $B$ en el lugar del punto $B’$. Al medir los segmentos $AP, BQ, DP$, se tiene que miden $26 cm, 5 cm$ y $10 cm$, respectivamente.

¿Cuál es el área del la hoja de papel?

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Dibuja la figura que muestre la hoja antes y después del doblez. ¿Sabes usar semejanza de triángulos?

Solución

Por:

jmd

Fecha:

13 Feb 2009

Solución:

Aprovecho esta solución para ilustrar el arte de exprimirle toda la información al enunciado. En primer lugar notemos que el dato faltante (para el área) es el lado AB. Si lo tuviésemos el problema estaría resuelto.

Veamos qué información adicional podemos extraer de los datos. Después de pensarle un rato, tenemos que ver que en el trapecio que se forma al doblar las bases miden 26 y 5 (deben medir lo mismo antes y después del doblez). Ahora preguntemos si esa nueva información nos puede servir para algo. (Para referencias posteriores, llamemos $A'$ y $B'$ a las esquinas $A$ y $B$, respectivamente, en su posición después del doblez, y $R$ a la intersección del lado $BC$ con $A'B'$.)

Un momento de reflexión nos lleva a concluir que tenemos la hipotenusa $PA'=26$ y el cateto menor $PD=10$ del triángulo rectángulo formado en la esquina inferior izquierda.(triángulo $PDA'$). Aplicando Pitágoras se obtiene que el cateto mayor es de 24 ($DA'=24$). No es mucho pero...

Tarde o temprano debe surgir la idea de que el triángulo $PDA'$ es semejante al triángulo $A'CR$. (Eso es fácil de ver si observamos que sus ángulos en el vértice común $A'$ son complementarios.) De nuevo debemos preguntarnos si ese descubrimiento nos puede servir de algo.

Y se nos tiene que ocurrir (no hay reglas para estos descubrimientos, solamente están los patrones visuales y las conjeturas) que los triángulos rectángulos $A'CR$ y $QB'R$ son también semejantes. (Ello es fácil de comprobar observando que son triángulos rectángulos y sus ángulos en el vértice común $R$ son opuestos por el vértice.)

Por transitividad, entonces, los triángulos $PDC$ y $QB'R$ son semejantes. De aquí que, como $PD=10$ y $QB'=5$, se deduce que $QR=13$ y $B'R =12$. OK. ¿Y ahora? Bueno, ahora la información clave (la penúltima que hay que exprimirle al enunciado) está tan a la vista que es casi invisible. ¿Cuál es? ¡Lotería! ¡$R$ es punto medio!

El resto debe ser fácil para el lector descubrirlo. Como dijo el español, les prometo que $AB$ mide $63/2$.